Integrais

PARTE II - APLICAÇÕES

Daniel Miranda
UFABC
Cristian Colleti
UFABC
Armando Caputi
UFABC

Sumário

Introdução

  • Pressione ESC para ver um panorama dos slides.

  • As resoluções dos exemplos e as demonstrações dos teoremas podem ser vistas clicando na seta para baixo, quando esta estiver disponível.

  • Use as setas do teclado para navegar mais facilmente.

  • Em telas touch, deslize os dedos para trocar de slides.

Avisos

Os slides apresentados aqui não foram revisados e dessa forma podem conter erros. As versões posteriores podem apresentar mudanças de estilo e conteúdo.

Nós também ficaríamos muito gratos se nos fossem enviadas sugestões de melhorias ou se fossem apontados erros porventura encontrados.

Versão: 2016-12-02

Aplicações da Integral

Neste capítulo vamos mostrar como somas de Riemann e integrais definidas surgem em problemas tais como encontrar o volume e a área de superfície de um sólido, encontrar o comprimento de uma curva plana, calcular o trabalho realizado por uma força, encontrar o centro de a gravidade de uma região plana, encontrar a pressão e a força, etc.

Construção de Fórmulas Integrais

Dado uma função $f$ uma função contínua em $[a,b]$ e uma partição em $n$ subintervalos igualmente espaçados

\[ a<x_1 < x_2 < \cdots < x_n<x_{n+1}=b. \]

Deixe $\Delta x=(b-a)/n$ denotar o comprimento do subintervalo, e deixe $x^{*}_i$ ser um valor no $i$-ésimo subintervalo. A soma

\[ \sum_{i=1}^n f(x^{*}_i)\Delta x \]

é denominada Soma de Riemann.

As somas de Riemann podem ser usadas para aproximar algumas quantidades (área, volume de trabalho, pressão, etc.). A aproximação torna-se exata tomando o limite

\[ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x^{*}_i)\dx = \int_a^b f(x)\ dx. \]

Este capítulo emprega a seguinte técnica para uma variedade de aplicações.

  • Suponha que o valor $ Q $ de uma quantidade deve ser calculada.
  • Primeiramente aproximaremos o valor de $Q $ utilizando uma soma de Riemann.
  • Em seguida, encontrar o valor exato através de uma integral definida.

Aplicação da Estratégia de Integrais Definidas

Deixe uma quantidade $Q$ cujo valor deve ser computado.

  • Divida a quantidade em $n$ ‘'subquantidades’' menores de valores $Q_i$.
  • Identifique a variável $x$ e a função $f(x)$ de tal forma que cada subquantidade pode ser aproximada com o produto $ f (x^{*}_i) \Delta x $, onde $ \Delta x $ representa uma pequena mudança em $ x $. Assim $Q_i \approx f (x^{*}_i) \Delta x $.
  • Reconheça que $ Q= \sum_{i=1}^n Q_i \approx \sum_{i=1}^n f(x^{*}_i)\Delta x$, que é uma soma de Riemann.
  • Tomando os limites apropriados temos $ Q = \dint_a^b f(x)\dx$

Área entre duas curvas

Sejam $f$ e $g$ funções continuas em $[a,b]$ tais que $g(x) \leq f(x)$ para todo $x \in [a,b]$ então $f(x) - g(x)$ é continua em $[a,b]$ e $f(x) - g(x)\geq 0$

\definecolor{qqzzff}{rgb}{0.,0.6,1.} \definecolor{zzttff}{rgb}{0.6,0.2,1.} \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.25cm] \draw[->,color=black] (-2.,0.) -- (8.,0.); \foreach \x in {-2.,-1.,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-6.) -- (0.,10.); % \foreach \y in {-6.,-4.,-2.,2.,4.,6.,8.} % \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-2.,-6.) rectangle (8.,10.); \draw[color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] {[smooth,samples=50,domain=0.0:5.5] plot(\x,{(-1.0)/15.0*\x*(\x-1.5)*(\x-7.0)+5.0})} -- (5.5,-1.7) {[smooth,samples=50,domain=5.5:0.0] -- plot(\x,{\x-((-1.0)/15.0*\x*(\x-1.5)*(\x-7.0)+5.0)})} -- (0.,5.) -- cycle; \draw[line width=1.2pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-2.0:8.0] plot(\x,{(-1.0)/15.0*(\x)*((\x)-1.5)*((\x)-7.0)+5.0}); \draw (1.26,7.92) node[anchor=north west] {$f(x)$}; \draw[line width=1.2pt,color=zzttff,smooth,samples=100,domain=-2.0:8.0] plot(\x,{(\x)-((-1.0)/15.0*(\x)*((\x)-1.5)*((\x)-7.0)+5.0)}); \draw (2.62,-3.32) node[anchor=north west] {$g(x)$}; \begin{scriptsize} \draw (-0.8,0.22) node[anchor=north west] {$a$}; \draw (5.36,0.22) node[anchor=north west] {$b$}; \draw[color=zzttff] (-3.3,-20.8) node {$g$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Figura 1. Área entre duas curvas.

areaeee4


Figura 2. Aproximação da área entre duas curvas por retângulos.

Considere $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ uma partição de $[a,b]$ em subintervalos de igual comprimento, então a soma de Riemann

(1)
\[\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(f(x_i^{\star})-g(x_i^{\star})\right) \Delta x_i \nonumber \]

é uma aproximação para a área entre as curvas $f(x)$ e $g(x).$

Como a função $f(x) - g(x)$ é continua em $[a,b]$, temos que o limite da soma de Riemann acima existe. Agora, como $f-g$ é não negativa em $[a,b]$ é natural definir a área entre as curvas $f(x)$ e $g(x)$, denotada por $A(f,g)$, como sendo

(2)
\[A(f,g) = \dint_a ^b \left(f(x) - g(x)\right) dx. \nonumber \]

Teorema [Área entre Curvas].
Sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções contínuas em $[a,b]$ com $f(x)\geq g(x)$ para todo $x$ in $[a,b]$. A área da região limitada pela funções $y=f(x) $, $y=g(x)$ e as retas $x=a$ e $x=b$ é

\[ \dint_a^b \big(f(x)-g(x)\big) \dx. \]

Exercício. Calcule a área da região limitada por de $y=xe^{-x^2}$ e $y=e^x$ e $y=-1$ e $y=1$.

\newrgbcolor{xfqqff}{0.4980392156862745 0. 1.} \newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.} \newrgbcolor{qqzzff}{0. 0.6 1.} \psset{xunit=1.3cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.8,-0.8)(2.7,4.8) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.8,-0.8)(2.7,4.8) \pscustom[linecolor=qqzzff,fillcolor=qqzzff,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1.}{1.5}{2.718281828459045^(x)}\lineto(1.5,0.1580988368427965)\psplot{1.5}{-1.}{x*2.718281828459045^(-x^(2.0))}\lineto(-1.,0.36787944117144233)\closepath} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=xfqqff,plotpoints=200]{-1.8}{2.7}{x*2.718281828459045^(-x^(2.0))} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-1.8}{2.7}{2.718281828459045^(x)} \rput[tl](1.640808666666665,0.7221335555555585){$xe^{-x^2}$} \rput[tl](0.5345997777777755,3.051679333333339){$e^x$} \end{pspicture*}

Figura 3. 

Resolução. Como $e^x>xe^{-x^2}$ temos que a área é dada por:

\[ \begin{aligned} A&=\dint_{-1}^1 e^x - xe^{-x^2} \dx\\ &=\dint_{-1}^1 e^x \dx -\dint_{-1}^1 xe^{-x^2} \dx\\ &=\dint_{-1}^1 e^x \dx +\dfrac{1}{2}\dint_{-1}^1 e^{u} \du\\ &= \left(e^x +\dfrac{1}{2}e^{-x^2} \right)\barra^1_{-1}\\ &= e-\dfrac{1}{e} \end{aligned} \]

Exercício. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de $y=x^2$ e $y=\sqrt{x}$.

\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666} \definecolor{wwzzff}{rgb}{0.4,0.6,1.} \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.} \definecolor{zzwwff}{rgb}{0.6,0.4,1.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=2.5cm,y=2.5cm] \draw[->,color=black] (-0.40088,0.) -- (1.3028,0.); \foreach \x in {,0.5,1.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0.,-0.4038222222222224) -- (0.,1.2998577777777771); \foreach \y in {,0.5,1.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.40088,-0.4038222222222224) rectangle (1.3028,1.2998577777777771); \draw[color=wwzzff,fill=wwzzff,fill opacity=0.1] {[smooth,samples=50,domain=0.0:1.0] plot(\x,{sqrt(\x)})} -- (1.,1.) {[smooth,samples=50,domain=1.0:0.0] -- plot(\x,{\x^(2.0)})} -- (0.,0.) -- cycle; \draw[line width=1.2pt,color=zzwwff,smooth,samples=100,domain=-0.4008800000000011:1.3027999999999984] plot(\x,{(\x)^(2.0)}); \draw[line width=1.2pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=1.0150399988886007E-6:1.3027999999999984] plot(\x,{sqrt((\x))}); \draw (0.42729777777777644,1.11056) node[anchor=north west] {$\sqrt{x}$}; \draw (0.7980059259259245,0.5663288888888884) node[anchor=north west] {$x^2$}; \begin{scriptsize} \draw [fill=uuuuuu] (0.9999999999863006,0.9999999999931503) circle (1.5pt); \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Figura 4. 

Resolução. Primeiramente determinaremos os pontos nos quais as curvas $y=x^2$ e $y=\sqrt(x)$ se interceptam. Igualando as equações temos que $x^2=\sqrt(x)$, e resolvendo temos que as curvas se interceptam em $x=0$ e $x=1$.

Observamos que $ x^2\leq y \leq \sqrt{x}$ para todo $x \in [0,1]$. Consequentemente a área é dada pela integral:

(3)
\[ A = \dint_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \dx = \dfrac{1}{3}. \]

Exercício. Mostre que a área do círculo de raio $r$ é $\pi r^2$

\newrgbcolor{qqzzff}{0. 0.6 1.} \newrgbcolor{xfqqff}{0.4980392156862745 0. 1.} \newrgbcolor{wwccff}{0.4 0.8 1.} \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.3,-1.3)(1.4,1.4) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-0pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.3,-1.3)(1.4,1.4) \pscustom[linecolor=wwccff,fillcolor=wwccff,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1.}{1.}{sqrt(1.0-x^(2.0))}\lineto(1.,0.)\psplot{1.}{-1.}{-sqrt(1.0-x^(2.0))}\lineto(-1.,0.)\closepath} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzff,plotpoints=200]{-0.9999976000000008}{0.9999996000008009}{sqrt(1.0-x^(2.0))} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=xfqqff,plotpoints=200]{-0.9999976000000008}{0.9999996000008009}{-sqrt(1.0-x^(2.0))} \rput[tl](0.5539969640659282,1.1425051301859317){$\scriptstyle\sqrt{r^2-x^2}$} \rput[tl](0.5988270806602493,-0.7723812786286394){$\scriptstyle-\sqrt{r^2-x^2}$} \rput[tl](-1.2671861878538266,-0.017){$-r$} \rput[tl](1.0727454560859286,-0.017){$r$} \psline[linecolor=wwccff](0.6,0.8)(0.6,-0.8) \end{pspicture*}

Figura 5. Área do Círculo

A área do círculo com o raio $r$ pode ser calculado pela integral

(4)
\[\dint_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}-(-\sqrt{r^2 - x^2})\dx =2\dint_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\dx \]

Para calcular a integral, faremos a substituição: $x=r \sin\theta $ e assim $dx=r\cos \theta \dif\theta$. Esse é um exemplo de Substituição Trigonométrica que será estudada detalhadamente na Seção de Substituição Trigonométrica.

Com essa substituição temos que: $\theta = \arcsin \left ( \dfrac{x}{r} \right )$

\[ \begin{aligned} \dint_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\dx &=\dint_{-\nicefrac{\pi}{2}}^{\nicefrac{\pi}{2}}\sqrt{r^2(1-\sin ^2 \theta)} \cdot r \cos \theta\dif \theta\\ &=\dint_{-\nicefrac{\pi}{2}}^{\nicefrac{\pi}{2}} r^2 \cos ^2 \theta\dif \theta \\ &=\dfrac{r^2}{2}\dint_{-\nicefrac{\pi}{2}}^{\nicefrac{\pi}{2}}(1+\cos 2\theta)\dif \theta \\ &=\dfrac{r^2}{2}\left ( \theta \barra_{-\nicefrac{\pi}{2}}^{\nicefrac{\pi}{2}}+ \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2\theta \right]\barra_{-\nicefrac{\pi}{2}}^{\nicefrac{\pi}{2}} \right )\\ &=\dfrac{\pi r^2}{2} \end{aligned} \]

Área entre duas curvas: Integrando em Relação a y

Em diversas situações é mais fácil calcular a área da região integrando com respeito a $y$ ao invés de integrar em relação a $x$. Considere, por exemplo, a região $R$ delimitada pelos gráficos de $x = f (y)$ e $x = g (y)$, onde $f (y)\geq g(y)$, e as linhas horizontais $y=c$ e $y=d$.

material-Pz3Ga5dM

Nesse caso podemos mostrar que

Teorema [Área entre Curvas - y].
Sejam $f(y)$ e $g(y)$ funções contínuas em $[c,d]$ com $f(y)\geq g(y)$ para todo $y$ in $[a,b]$. A área da região limitada pela funções $x=f(y)$, $x=g(y)$ e as retas $x=c$ e $x=d$ é

\[ \dint_c^d \big(f(y)-g(y)\big) \dy. \]

Exercício. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de $y=x-2$ e $x=y^2$

\definecolor{wwzzff}{rgb}{0.4,0.6,1.} \definecolor{xfqqff}{rgb}{0.4980392156862745,0.,1.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.65cm,y=0.65cm] \draw[->,color=black] (-0.7,0.) -- (5.3,0.); \foreach \x in {,1.,2.,3.,4.,5.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0.,-2.5) -- (0.,2.5); \foreach \y in {-2.,-1.,1.,2.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.7,-2.5) rectangle (5.3,2.5); \draw[line width=0.pt,color=wwzzff,fill=wwzzff,fill opacity=0.1] {[smooth,samples=50,domain=0.0:1.0] plot(\x,{sqrt(\x)})} -- (1.,-1.) {[smooth,samples=50,domain=1.0:0.0] -- plot(\x,{0-sqrt(\x)})} -- (0.,0.) -- cycle; \draw[line width=0.pt,color=wwzzff,fill=wwzzff,fill opacity=0.1] {[smooth,samples=50,domain=1.0:4.0] plot(\x,{sqrt(\x)})} -- (4.,2.) {[smooth,samples=50,domain=4.0:1.0] -- plot(\x,{\x-2.0})} -- (1.,1.) -- cycle; \draw [samples=50,rotate around={-90.:(0.,0.)},xshift=0.cm,yshift=0.cm,color=ffqqqq,domain=-4.0:4.0)] plot (\x,{(\x)^2/2/0.5}); \draw [color=xfqqff,domain=-0.7:5.3] plot(\x,{(-2.--1.*\x)/1.}); \draw (4.101404077777775,1.9204656488888885) node[anchor=north west] {$(4,2)$}; \draw (0.731501375555553,-1.1817345022222219) node[anchor=north west] {$(1,-1)$}; \begin{scriptsize} \draw [fill=wwzzff] (1.,-1.) circle (1.5pt); \draw [fill=wwzzff] (4.,2.) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Figura 6. 

Resolução. Começaremos calculando a intersecção das duas curvas: Igualando as equações temos $x=y+2=y^2$ e logo $y^2-y-2=0$. Assim as curvas se interceptam em $y=-1$ e $y=2$.

Integrando em relação a $y$ temos:

\[ \begin{aligned} A=\dint_{-1}^{2} (y+ 2)-y^2 \dy = \left[ \dfrac{y^2}{2}+2y-\dfrac{y^3}{3}=\dfrac{9}{2} \right] \end{aligned} \]

Curvas que se Entrelaçam

Nesse caso queremos determinar a área de uma região $R$ entre duas funções $f$ e $g$ tais que o gráfico de $f$ situa-se acima do gráfico de $g$ para alguns valores de $x$ $(f(x)> f(x))$ e encontra-se abaixo para outros valores de $x$ $(f (x)< g (x))$.

Nesse caso, a estratégia para determinar a área da região $R$ é que dividi-la em sub-regiões cada uma descrita por uma única condição: ou $f (x)> g (x)$ ou $f (x) <g (x)$.

Exercício. Encontre a área da região $R$ limitada pelos gráficos de $y=\cos x$ e $y=\dfrac{2}{\pi}x-1$ e as retas verticais $x=0$ e $x=\pi$.

\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.} \definecolor{wwzzff}{rgb}{0.4,0.6,1.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-0.8,0.) -- (3.8,0.); \foreach \x in {,1.,2.,3.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0.,-1.4) -- (0.,2.2); \foreach \y in {-1.,1.,2.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.8,-1.4) rectangle (3.8,2.2); \draw[color=wwzzff,fill=wwzzff,fill opacity=0.1] {[smooth,samples=50,domain=0.0:3.141592653589793] plot(\x,{cos((\x)*180/pi)})} -- (3.141592653589793,1.) {[smooth,samples=50,domain=3.141592653589793:0.0] -- plot(\x,{2.0/3.1415926535*\x-1.0})} -- (0.,1.) -- cycle; \draw[line width=1.2pt,color=wwzzff,smooth,samples=100,domain=-0.8:3.8] plot(\x,{cos(((\x))*180/pi)}); \draw[line width=1.2pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-0.8:3.8] plot(\x,{2.0/3.1415926535*(\x)-1.0}); \draw (0.4262966129032267,1.361735161290323) node[anchor=north west] {$y=cos(x)$}; \draw (3.2706650806451636,-0.0929190322580635) node[anchor=north west] {$\pi$}; \draw (2.4524220967741956,1.8163145967741938) node[anchor=north west] {$\nicefrac{2}{\pi}x-1$}; \draw (1.4133833870967756,-0.15785895161290217) node[anchor=north west] {$\nicefrac{\pi}{2}$}; \draw (0.4003206451612912,0.5045282258064524) node[anchor=north west] {$R_1$}; \draw (2.634253870967744,0.43958830645161373) node[anchor=north west] {$R_2$}; \end{tikzpicture}

Figura 7. 

Resolução

\[ \begin{aligned} A_1&=\dint_0^{\pi/2} [f(x)-g(x)]\dx \quad \comentario{$f(x)>g(x)$}\\ &=\dint_0^{\pi/2} \left[ \cos x - \left(\dfrac{2}{\pi}x-1\right) \right] \dx\\ &= \left[\sin x - \dfrac{2}{\pi}x^2+x \right]\barra_0^{\pi/2}=\dfrac{4+\pi}{4} \end{aligned} \]

e

\[ \begin{aligned} A_2&=\dint_0^{\pi/2} [g(x)-f(x)]\dx \quad \comentario{$g(x)>f(x)$}\\ &=\dint_0^{\pi/2} \left[ \dfrac{2}{\pi}x-1-\cos x \right] \dx\\ &= \left[ \dfrac{2}{\pi}x^2-x -\sin x \right]\barra_{\pi/2}^{\pi}=\dfrac{4+\pi}{4} \end{aligned} \]

Assim a área total é

(5)
\[A=A_1+A_2=2+\dfrac{\pi}{2} \]

Volume por Secções Transversais

Seja $ S $ um sólido limitado pelos planos $x=a$ e $x=b$, como o primeiro da Figura 8.

Quando interceptamos o sólido $ S $ com um plano, obtemos uma região plana que é denominada de secção transversal de $S.$

Na segunda imagem da figura 8 apresentamos uma seção transversal de $S$.

solidosrev1 solidosrev2


Figura 8. Sólido $S$ é uma seção transversal do mesmo.

Denotaremos por $ A(x) $ a área de secção transversal perpendicular ao eixo $x$ e passando pelo ponto $x$ com $x \in [a,b]$. Para calcular o volume consideraremos uma partição $P=(x_i) $ de $[a,b].$ Vamos dividir o sólido $ S$ em $ n $ fatias utilizando os planos $ P_{x_1}, \cdots,P_{x_{n-1}} .$ Essa divisão do sólido em fatias é apresentada na Figura 9.

Escolhemos então pontos $ x^*_i \in [x_{i-1},x_i] $ e consideraremos a seção transversal passando por $x^*_i$, temos que o volume da i-ésima fatia $ S_i $ pode ser aproximado pelo volume do cilindro reto com base a seção passando por $x^*_i$ e altura $\Delta x_i .$ A aproximação por cilindros é apresentada na Figura 9.


fatias2 fatias3


Figura 9. Aproximação do sólido por cilindros

ezgif.com-optimize

Como a área da base de cada um dos cilindro é $ A(x^*_i) $ e sua altura $\Delta x_i$, uma aproximação para o volume da i-ésima fatia $S_i $ é

(6)
\[ V(S_i) \approx A(x^*_i) \Delta x_i. \]

umpao


Figura 10. 

Somando os volumes destas fatias obtemos uma aproximação para o volume total

(7)
\[ V \approx \sum_{i=1}^n A(x^*_i) \Delta x_i. \]

Fazendo o tamanho da partição tender a zero, $\abs{P} \to 0$, temos:

(8)
\[V = \dis \lim_{\abs{P} \to 0}\sum_{i=1}^n A(x^*_i) \Delta x_i = \dint_a^b A(x) \dx . \]

Teorema [Volume por Seções Transversais].
Seja $S$ o sólido limitado por planos que são perpendiculares ao eixo $x$ em $x=a$ e $x=b$. Se a área da seção transversal é $A(x)$ para $x\in [a,b]$, com $A$ contínua, então o volume de $S$ é

\[ V = \dint_a^b A(x) \dx. \]

Exercício. Determine o volume de uma pirâmide com uma base quadrada do comprimento do lado l e uma altura de h.

piramide45

piramide


Figura 11. 

Uma fatia da pirâmide é um quadrado de lados $2x$. Por semelhança de triângulos temos:

(9)
\[\dfrac{x}{\dfrac{b}{2}}=\dfrac{h-y}{h} \]

e logo

(10)
\[x=\dfrac{b}{2h}{h-y} \]

Resolução.

Logo a área da seção transversal é:

(11)
\[A(y)=(2x)(2x) = 4x^2=\dfrac{b^2}{h^2}(h-y^2)^2 \]

Como a piramide está entre os planos $y=0$ e $y=h$ temos que o volume é dado pela integral:

\[ \begin{aligned} V &= \dint_{0}^{h} A(y) \dy= \dint_{0}^{h}\dfrac{b^2}{h^2}(h-y^2)^2\dy\\ &=\left[\dfrac{b^2}{3h^2}(h-y^2)^3\right]\barra_0^h= \dfrac{1}{3}b^2h \end{aligned} \]

Exercício. Mostre que o volume da esfera de raio $r$ é $\dfrac {4 \pi r^3} 3$.

esferaa

Resolução: