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Versão: 2016-12-02
Aplicações da Integral
Neste capítulo vamos mostrar como somas de Riemann e
integrais definidas surgem em problemas tais como encontrar o volume e a área de superfície de um sólido,
encontrar o comprimento de uma curva plana, calcular o trabalho realizado por uma força, encontrar o centro de
a gravidade de uma região plana, encontrar a pressão e a força, etc.
Construção de Fórmulas Integrais
Dado uma função uma função contínua em e uma partição em subintervalos igualmente espaçados
Deixe denotar o comprimento do subintervalo, e deixe ser um valor no -ésimo subintervalo. A soma
é denominada Soma de Riemann.
As somas de Riemann podem ser usadas para aproximar algumas quantidades (área, volume de trabalho, pressão, etc.). A aproximação torna-se exata tomando o limite
Este capítulo emprega a seguinte técnica para uma variedade de aplicações.
Suponha que o valor de uma quantidade deve ser calculada.
Primeiramente aproximaremos o valor de utilizando uma soma de Riemann.
Em seguida, encontrar o valor exato através de uma integral definida.
Aplicação da Estratégia de Integrais Definidas
Deixe uma quantidade cujo valor deve ser computado.
Divida a quantidade em ‘'subquantidades’' menores de valores .
Identifique a variável e a função
de tal forma que cada subquantidade pode ser aproximada com o produto , onde representa uma pequena mudança em . Assim .
Reconheça que , que é uma soma de Riemann.
Tomando os limites apropriados temos
Área entre duas curvas
Sejam e funções continuas em tais que para todo então é continua em e
Figura 1.Área entre duas curvas.
Figura 2.Aproximação da área entre duas curvas por retângulos.
Considere uma partição de em subintervalos de igual comprimento, então a soma de Riemann
(1)
é uma aproximação para a área entre as curvas e
Como a função é continua em , temos que o limite da soma de Riemann acima existe. Agora, como é não negativa em é natural definir a área entre as curvas e , denotada por , como sendo
(2)
Teorema [Área entre Curvas].
Sejam e funções contínuas em com para todo in . A área da região limitada pela funções , e as retas e é
Exercício.
Calcule a área da região limitada por de e e e .
Figura 3.
Resolução.
Como temos que a área é dada por:
Exercício.
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de e .
Figura 4.
Resolução.
Primeiramente determinaremos os pontos nos quais as curvas e se interceptam.
Igualando as equações temos que , e resolvendo temos que as curvas se interceptam em e .
Observamos que
para todo . Consequentemente a área é dada pela integral:
(3)
Exercício.
Mostre que a área do círculo de raio é
Figura 5.Área do Círculo
A área do círculo com o raio pode ser calculado pela integral
(4)
Para calcular a integral, faremos a substituição:
e assim . Esse é um exemplo de Substituição Trigonométrica que será estudada detalhadamente na Seção de Substituição Trigonométrica.
Com essa substituição temos que:
Área entre duas curvas: Integrando em Relação a y
Em diversas situações é mais fácil calcular a área da região integrando com respeito a ao invés de integrar em relação a .
Considere, por exemplo, a região delimitada pelos gráficos de
e , onde , e as linhas horizontais e .
Nesse caso podemos mostrar que
Teorema [Área entre Curvas - y].
Sejam e funções contínuas em com para todo in . A área da região limitada pela funções , e as retas e é
Exercício.
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de e
Figura 6.
Resolução.
Começaremos calculando a intersecção das duas curvas:
Igualando as equações temos e logo . Assim as curvas se interceptam em e .
Integrando em relação a temos:
Curvas que se Entrelaçam
Nesse caso queremos determinar a área de uma região entre duas funções e tais que
o gráfico de situa-se acima do gráfico de para alguns valores de
e encontra-se abaixo para outros valores de .
Nesse caso, a estratégia para determinar a área da região é que dividi-la em sub-regiões cada uma descrita por uma única condição: ou ou .
Exercício.
Encontre a área da região limitada pelos gráficos de
e e as retas verticais e .
Figura 7.
Resolução
e
Assim a área total é
(5)
Volume por Secções Transversais
Seja um sólido limitado pelos planos e , como o primeiro da Figura 8.
Quando interceptamos o sólido com um plano, obtemos uma região plana que é denominada de secção
transversal de
Na segunda imagem da figura 8 apresentamos uma seção transversal de .
Figura 8.Sólido é uma seção transversal do mesmo.
Denotaremos por a área de secção transversal perpendicular ao eixo e passando pelo ponto com .
Para calcular o volume consideraremos uma partição de Vamos dividir o sólido em fatias utilizando os planos Essa divisão do sólido em fatias é apresentada na Figura 9.
Escolhemos então pontos e consideraremos a seção transversal passando por , temos que o volume da
i-ésima fatia pode ser aproximado pelo volume do cilindro reto com base a seção passando por e altura A aproximação por cilindros é apresentada na Figura 9.
Figura 9.Aproximação do sólido por cilindros
Como a área da base de cada um dos cilindro é e sua altura , uma aproximação para o
volume da i-ésima fatia é
(6)
Figura 10.
Somando os volumes destas fatias obtemos uma aproximação para o volume total
(7)
Fazendo o tamanho da partição tender a zero, , temos:
(8)
Teorema [Volume por Seções Transversais].
Seja o sólido limitado por planos que são perpendiculares ao eixo em e .
Se a área da seção transversal é para , com contínua, então o volume de é
Exercício.
Determine o volume de uma pirâmide com uma base quadrada do comprimento do lado l e uma altura de h.
Figura 11.
Uma fatia da pirâmide é um quadrado de lados . Por semelhança de triângulos temos:
(9)
e logo
(10)
Resolução.
Logo a área da seção transversal é:
(11)
Como a piramide está entre os planos e temos que o volume é dado pela integral:
Exercício.
Mostre que o volume da esfera de raio é .
Resolução:
A seção transversal da esfera por é um círculo de raio .
Pelo Teorema de Pitágoras temos que .
Logo o volume é dado por
Exemplo [Sólido de Steinmetz]. Calcule o Volume da região delimitada pela intersecção de dois cilindros, ambos de raio r, se os
eixos dos cilindros são perpendiculares.
Uma seção vertical do sólido de é um quadrado de lado .
Uma vez que o sólido é obtido a partir da intersecção de dois cilindros de
raio , a largura do quadrado e a altura são relacionadas por
Desta forma área do quadrado é que pode ser expressa em termos de como
:
O método de integração por fatias cilindricas fornece então que o é dada por
Destacamos que é necessário multiplicar por pois a integral acima representa apenas do sólido
Sólidos de Rotação
Um caso particular importante no qual podemos utilizar o método das seções transversais ocorre quando o solido é obtido por
rotação, em torno do eixo da região
(12)
Figura 12.
Nesse caso temos que a área da seção transversal passando por é
(13)
Consequentemente, temos que o volume do sólido obtido por rotação, em
torno do eixo do conjunto é
(14)
Método dos Discos
Deixe ser o sólido obtido rotacionando a região de até ao redor do eixo . O volume do sólido é dado por
Exercício. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em
torno do eixo da região sob a curva de até
Resolução.
Quando fatiamos o sólido por um plano perpendicular ao eixo e passando pelo ponto obtemos um disco de
raio Logo a área da secção transversal é
(15)
Portanto, o volume do sólido é
(16)
De modo similar, para determinar o volume de um sólido obtido com a rotação,
em torno do eixo , de uma região compreendida entre o
eixo e a curva observamos que a secção transversal
é um círculo de área
e consequentemente o volume é dado por
(17)
Exercício. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação,
em torno do eixo da região compreendida entre o eixo e a curva
Resolução.
O volume é
(18)
Exercício. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do
eixo , da região compreendida entre a parábola e a reta no primeiro quadrante.
Resolução.
A reta e a parábola se cortam em e portanto os
limites de integração são e O volume pode ser expresso então como
(19)
Onde e são os volumes dos sólidos obtidos pela rotação, em torno do eixo das curvas e respectivamente.
Assim,
(20)
Portanto,
Exercício.Deduza a fórmula do volume do toro obtido ao girarmos o círculo
em torno do eixo .
Resolução
A região é delimitada superiormente por
e inferiormente por
com .
Assim, definindo , o volume do toro é dado pela
integral
(21)
(22)
Como é metade da área do círculo de raio
esta integral vale .
Assim o volume do toro é .
Volume por Cascas Cilíndricas
Considere o sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
da região limitada por onde e pelas
retas e
Figura 13.Sólido obtido pela rotação, em torno do eixo da região limitada por
Seja uma partição do
intervalo e seja o ponto médio
do i-ésimo intervalo, Se o retângulo
com base e altura é
girado ao redor do eixo então o resultado é uma casca
cilíndrica cujo volume é
(23)
Figura 14.Volume
Portanto uma aproximação para o
volume de é dada pela soma dos volumes dessas seções:
(24)
Esta aproximação torna-se melhor quando
Então definimos o volume do sólido obtido
pela rotação, em torno do eixo da região limitada por
onde
e por
(25)
Teorema [Cascas Cilíndricas].
Deixe ser o sólido obtido rotacionando a região de até ao redor de um eixo .
O volume do sólido é
Exercício.
Encontre o volume do sólido formado pela rotação da região limitada por , , e ao redor do eixo -axis.
Figura 15.
Resolução.
Nesse caso temos que o raio da casca cilíndrica é e a altura é . Como a região é limitada pelos planos e , temos que o volume é dado por
Fazendo a substituição , temos . Além disso
e .
Exercício.Determine o volume do sólido obtido pela
rotação, em torno do eixo da região limitada por e
Resolução.
A função intercepta o eixo em e . Logo podemos expressar o volume como:
(26)
(27)
Trabalho
Nesta seção, vamos definir trabalho realizado por uma força que depende da posição.
Começamos lembrando que no caso de uma força constante o trabalho realizado ao mover um objeto sob ação dessa força é definido pelo produto da força pelo deslocamento :
(28)
Agora consideremos o deslocamento de uma partícula de até com e
suponhamos que a força dependa da posição, isto é, , e que a força seja contínua no intervalo . Considere então uma
partição do intervalo com marcas
Se o tamanho do -ésimo intervalo for
suficientemente pequeno, será praticamente constante nesse intervalo, e
então o trabalho realizado pela força de até
é aproximadamente
(29)
Logo podemos aproximar o trabalho realizado por
de até pela soma dos trabalhos realizados
nos intervalos , , isto é
(30)
Fazendo o tamanho dos intervalos diminuir a aproximação será melhor,
o que nos motiva a definir trabalho como segue.
Definição 1.
O trabalho realizado por uma força
sobre uma partícula no deslocamento de até é dado por
(31)
Exercício.
Quanto trabalho é feito ao lançarmos verticalmente um peso de massa kg a partir do
superfície da terra para uma órbita de altura m acima da superfície?
Utilize que a força da gravidade exercida por uma massa M em outra massa m é dada por
(32)
Figura 16.
Como podemos aproximar o trabalho feito? dividimos
o caminho a partir da superfície até a órbita em pequenos subcaminhos. Em cada
subcaminho a força da gravidade é mais ou menos constante, com valor
a distância . Logo o trabalho realizado para elevar o objeto de
até é aproximadamente e assim o trabalho total pode ser aproximado por
No limite
onde é o raio da Terra e é
Assim o trabalho é
Exercício.[Calculando o Trabalho]
Uma corda de escalada de 50m está pendurada na beira de um precipício
Quanto trabalho é realizado ao puxar a corda até o topo. Considere que a corda tem uma massa de 66g/m,
Figura 17.
Resolução.
Denote por a quantidade de corda puxada, desta forma a quantidade de corda ainda dependurada é de .
Como cada metro de corda tem uma massa de 66 g, ou kg. A massa da corda ainda pendurado é kg; multiplicando esta massa pela aceleração da gravidade, de , temos uma força variável descrita por
Assim, a quantidade total de trabalho em puxar a corda é
Exercício. [Relação entre Trabalho e Energia Cinética]
Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo com função de posição
, com e . Suponha que seja 2 vezes
diferenciável em e que a força seja contínua em .
Seja a função que descreve a velocidade da partícula, com
e . Mostre que o trabalho realizado pela resultante de até
é igual à variação na energia cinética, isto é,
(33)
A posição é dada por . Logo . Como e
, então para e, para . Assim
(34)
Pela 2ª Lei de Newton, temos
(35)
onde é a aceleração da partícula no instante . Fazendo a mudança de
variável para
e para .
Suponha que um tanque de água tem a forma de um cone circular reto
com a ponta na parte inferior, e tem 10 metros de altura e raio de 2
metros. Se o tanque está cheio, quanto trabalho é necessário
para bombear toda a água para fora por cima do tanque?
Figura 18.
Para aproximar o trabalho, dividiremos a água no tanque em
secções horizontais, aproximamos o volume de água em uma secção por um
disco fino, e calculamos a quantidade de trabalho necessária para levantar cada disco
para o topo do tanque. Como de costume, tomamos o limite fazendo as secções
mais finas obtendo o trabalho total.
Na profundidade a secção transversal circular através do tanque tem um raio
, usando semelhança de triângulos,
e área . Uma seção do tanque em profundidade
, portanto, tem um volume de aproximadamente e logo
contém quilogramas de água, onde
é a densidade da água em quilogramas por metro cúbico;
. Assim a força da gravidade sobre esta quantidade de água é
, e, finalmente, esta seção de água
deve ser levantada uma distância , o que exige
Newton-metros de trabalho. Logo o trabalho total é
dado por
Comprimento de Arco
Queremos definir o comprimento de uma curva. Se a curva é uma poligonal,
podemos facilmente encontrar seu comprimento somando os comprimentos dos
segmentos de reta que formam a poligonal. Agora suponhamos que a curva
seja dada pela equação onde é diferenciável e
Seja uma partição de Então a poligonal com vértices é uma aproximação para O comprimento da curva é
aproximadamente o comprimento da poligonal, e a aproximação torna-se melhor
quando
Figura 19.
O comprimento da poligonal é
(38)
(39)
Aplicando o Teorema do Valor Médio em cada intervalo existe um tal que
(40)
Desta forma
(41)
(42)
Então, definimos o
comprimento da curva por
(43)
Exercício. Calcule o comprimento de arco da curva
, com .
Resolução.
Como , temos que e assim,
(44)
Fazendo a substituição, então Quando
quando Consequentemente,
(45)
Área Superficial
Nós já vimos como uma curva de em pode ser girada em torno de um eixo para formar um sólido. Em vez de calcular o seu volume, consideraremos agora a sua área superficial.
Podemos aproximar a área da superfície pela área da superfície gerada pela revolução de uma poligonal plana em torno de um eixo deste plano
Consideremos definida e positiva em com derivada contínua em
. Seja uma partição de Consideremos a poligonal com
vértices e girando-a ao redor do eixo obtemos uma
aproximação para a superfície.
Seja a área lateral da superfície gerada pela rotação da poligonal da
figura abaixo.
Lembramos que a área lateral, , do tronco de cone é dada por
(46)
onde
Agora vamos deduzir a área lateral de um sólido de revolução qualquer em torno
do eixo pela aproximação da soma das áreas laterais de vários troncos de
cone.
Se denotarmos por o comprimento da curva ligando os pontos a , como
para algum no -ésimo subintervalo. Então
Assim, a área da superfície de um dos tronco do cone é de aproximadamente
Como é uma função contínua , pelo TVI temos que existe em tal que ; Logo:
Somando sobre todos os subintervalos temos
que é uma soma de Riemann.
Tomando o limite temos
A área da superfície do sólido formado pela rotação do gráfico de ao redor do eixo , com , é
Exercício. Determine a área de superfície do sólido formado pela revolução da curva em em torno do eixo .
Exercício.Determine a área de superfície do sólido formado pela revolução da curva em em torno do eixo .
Figura 20.
Uma vez que estamos girando em torno do eixo , o ‘’ raio ‘’ do sólido não é , mas sim . Assim, a integral para calcular a área de superfície é:
Exercício. Encontre a área da superfície obtida pela
rotação da curva ao redor do eixo
Temos e assim,
(47)
(48)
Centro de Massa
Consideremos uma placa fina com densidade uniforme
que ocupa uma região do plano.
Desejamos encontrar o centro de massa da placa Suponha que a
região seja da forma
(49)
onde é função definida e contínua em , com
, para todo .
Consideremos uma partição de e escolhemos o ponto
como sendo ponto médio do intervalo que é Isto determina uma aproximação por retângulos de
O centro de massa do retângulo é seu centro Como sua área é
temos que a massa do -ésimo retângulo é
(50)
Logo o centro de massa da região formada pela união dos retângulos é
Fazendo o tamanho da partição tender a zero ,
obtemos as coordenadas do centro de massa da região
O argumento anterior motiva a definição:
Definição 2. Suponha que a
região seja da forma
(51)
onde é função definida e contínua em , com
, para todo . Então
as coordenadas do centro de massa da região são
Exercício. Calcule o centro de massa da região limitada pelas curvas e
A área da região é: assim,
(52)
(53)
(54)
Portanto o centro de massa é
Se a região está entre as curvas e onde então o mesmo argumento anterior pode ser usado para mostrar que o
centro de massa de
(55)
é dado por
(56)
Exercício. Determine o centro de massa da região limitada pela reta e pela
parábola .
Resolução.
A área da região é
(57)
Portanto,
(58)
(59)
O centro de massa é
Teorema de Pappus
Teorema 5. [Teorema de Pappus]
Seja uma região plana, que se situa inteiramente de um dos lados de uma reta no mesmo plano. Se denotarmos por a distância entre o centroide de e a reta , então o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de ao redor de é dado por
(60)
onde é a área de .
Referências
[1]Tom M Apostol. Calculus, Volume I. John Wiley & Sons. 2007. 🔎
[2]Marco Aurélio Palumbo Cabral. Curso de Cálculo de Uma Variável. 2013. 🔎
[3]Richard Courant. Differential and Integral Calculus. Volume 2. John Wiley & Sons. 2011. 🔎
[9]David Guichard, Neal Koblitz, and H Jerome Keisler. Calculus: Early Transcendentals. Whitman College. 2014. 🔎
[10]Hamilton Luiz Guidorizzi. Um Curso de Cálculo. Livros Técnicos e Científicos Editora. 2001. 🔎
[11]Gregory Hartman. APEX Calculus I. University of Lethbridge. 2015. 🔎
[12]Linda G Kallam, and Michael Kallam. “An Investigation into a Problem-Solving Strategy for Indefinite Integration and Its Effect on Test Scores of General Calculus Students.” ERIC. 1996. 🔎
[13]Morris Kline. Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Courier Corporation. 1998. 🔎
[14]Steven G Krantz. The Integral: A Crux for Analysis. Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics. Volume 4. 1. Morgan & Claypool Publishers. 2011. 🔎
[15]Louis Leithold. The Calculus with Analytic Geometry. Volume 1. Harper & Row. 1972. 🔎
[16]Elon Lages Lima. “Análise Real Volume 1.” Rio de Janeiro: IMPA. 2008. 🔎
[17]Iaci Malta, Sinésio Pesco, and Hélio Lopes. Cálculo a Uma Variável. Uma Introdução Ao. 2002. 🔎
[18]Peter R Mercer. More Calculus of a Single Variable. Springer. 2014. 🔎
[19]Oswaldo de Oliveira, and others. “The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs.” Real Analysis Exchange 39 (1). Michigan State University Press: 207–218. 2013. 🔎
[20]Alan H Schoenfeld. Presenting a Strategy for Indefinite Integration. American Mathematical Monthly. JSTOR. 1978. 🔎
[21]George F Simmons. Calculus with Analytic Geometry. AMC. Volume 10. 1985. 🔎
