Derivadas

Parte I

Daniel Miranda
UFABC
Cristian Colleti
UFABC

Sumário

Introdução

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Motivações

O Problema da Reta Tangente

Uma das ideias centrais do cálculo diferencial é a noção de derivada. O surgimento do conceito de derivada foi motivado por um problema de geometria: o problema de encontrar a reta tangente a um ponto de uma curva.

O conceito de derivada não foi formulado até o início do século XVII, quando o matemático francês Pierre de Fermat, tentou determinar máximos e mínimos de determinadas funções especiais. A ideia de Fermat pode ser entendida se nos referirmos à curva na Figura abaixo. Suponha que cada ponto desta curva tem uma direção definida de que pode ser descrito por uma reta tangente. Algumas destas retas tangentes são indicadas por linhas em vermelho na figura.

\definecolor{uququq}{rgb}{0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.9cm,y=0.9cm] \draw[->,color=black] (-0.5,0.) -- (5.5,0.); \foreach \x in {,1.,2.,3.,4.,5.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-0.5) -- (0.,4.); \foreach \y in {,1.,2.,3.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-0.5,-0.5) rectangle (5.5,4.); \draw[line width=1.2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-0.5:5.5] plot(\x,{0.1111111111111111*(\x)^(3.0)-0.8333333333333333*(\x)^(2.0)+1.3333333333333333*(\x)+2.0}); \draw [color=ffqqqq] (0.,2.180555555555556)-- (1.,2.763888888888889); \draw [color=ffqqqq] (0.5,2.611111111111111)-- (1.5,2.611111111111111); \draw [color=ffqqqq] (1.,2.7083333333333335)-- (2.,2.2916666666666665); \draw [color=ffqqqq] (1.5,2.5555555555555554)-- (2.5,1.888888888888889); \draw [color=ffqqqq] (2.,2.2361111111111107)-- (3.,1.4861111111111107); \draw [color=ffqqqq] (2.5,1.8333333333333344)-- (3.5,1.1666666666666674); \draw [color=ffqqqq] (3.,1.4305555555555558)-- (4.,1.0138888888888888); \draw [color=ffqqqq] (3.5,1.1111111111111116)-- (4.5,1.1111111111111116); \draw [color=ffqqqq] (4.,0.9583333333333329)-- (5.,1.541666666666667); \draw [dotted] (1.,2.611111111111111)-- (1.,0.); \draw [dotted] (4.011036520693864,1.1111721628724132)-- (4.,0.); \begin{scriptsize} \draw [fill=qqwuqq] (0.5,2.4722222222222223) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (1.,2.611111111111111) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (1.5,2.5) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (2.,2.2222222222222223) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (2.5,1.8611111111111107) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (3.,1.5) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (3.5,1.2222222222222223) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (4.,1.1111111111111116) circle (1.0pt); \draw [fill=qqwuqq] (4.5,1.25) circle (1.0pt); \draw [fill=ffqqqq] (1.,2.611111111111111) circle (2.5pt); \draw [fill=ffqqqq] (4.011036520693864,1.1111721628724132) circle (2.5pt); \draw [fill=uququq] (1.,0.) circle (1.5pt); \draw [fill=uququq] (4.,0.) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Fermat observou que em certos pontos nos quais a curva tem um máximo ou mínimo, tais como os destacados na figura, a reta tangente deve ser horizontal. Assim, o problema de localizar tais valores extremos foi reduzido a resolver outro problema, o de localizar as tangentes horizontais.

Isso nos leva a questão mais geral de determinação da direção da tangente num ponto arbitrário da curva. Foi a tentativa de resolver este problema em sua generalidade que levou Fermat a descobrir algumas das ideias rudimentares subjacentes à noção de derivada. Embora o conceito de derivada tenha sido originalmente formulado para estudar o problema das tangentes, logo descobriu-se que ele também fornece uma maneira de calcular a velocidade e, mais geralmente, a taxa de variação de uma função.

Vamos começar a colocar matematicamente o problema da reta tangente. Nesse problema temos uma função $f$ e um ponto $P$ no gráfico de $f$ e queremos determinar a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $P$, como mostra a próxima figura .

\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666} \definecolor{fftttt}{RGB}{243,102,25} \colorlet{fftttt}{ocre} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.2cm] \draw[->,color=black] (-5.,0.) -- (5.,0.); \draw[->,color=black] (0.,-5.) -- (0.,18.); \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-5.,-5.) rectangle (5.,18.); \draw[color=fftttt,smooth,samples=100,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)-2.0*(\x)+2.0}); \draw[smooth,samples=100,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{2.0*(\x)-2.0}); \begin{scriptsize} \draw[color=fftttt] (-2.268397978501311,16.150897353275045) node {$f$}; \draw[color=black] (-2.7688192681679267,-7.726347039389131) node {$m$}; \draw [fill=uuuuuu] (2.,2.) circle (1.5pt); \draw[color=uuuuuu] (2.592837406831526,1.9961237312765214) node {$P$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Uma primeira tentativa de definir a reta tangente à curva no ponto seria como a reta que toca a curva apenas nesse ponto, como é usual definirmos no caso de retas tangentes a círculos. Mas essa definição não se mostra correta como as imagens subsequentes irá convencê-lo.

\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-0.6,0.) -- (5.,0.); \foreach \x in {,2.,4.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-0.6) -- (0.,4.); \foreach \y in {,2.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-0.6,-0.6) rectangle (5.,4.); \draw[line width=1.2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-0.6:5.0] plot(\x,{0.11*((\x)-0.132)^(3.0)-0.83*((\x)-0.132)^(2.0)+1.33*((\x)-0.132)+2.154}); \draw [domain=-0.6:5.] plot(\x,{(--2.7791014835200016-0.39177408*\x)/1.}); \end{tikzpicture} \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666} \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm] \draw[->,color=black] (-3.,0.) -- (3.,0.); \foreach \x in {-3.,-2.,-1.,1.,2.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-3.) -- (0.,4.); \foreach \y in {-3.,-2.,-1.,1.,2.,3.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-3.,-3.) rectangle (3.,4.); \draw[line width=1.2pt,color=qqqqff,smooth,samples=100,domain=-3.0:3.0] plot(\x,{(\x)^(3.0)/3.0}); \draw [domain=-3.:3.] plot(\x,{(--5.333333333333333-0.6933333333333334*\x)/1.48}); \begin{scriptsize} \draw [fill=uuuuuu] (2.,2.6666666666666665) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Na Figura anterior a) a reta que gostaríamos de denominar de tangente corta a curva em outro mais de um ponto. Na Figura b), vemos que a reta desenhada corta o gráfico em um único ponto, mas com certeza não é o que queremos chamar de reta tangente.

Destacamos que essas dificuldades não podem ser contornadas facilmente e temos que desistir da idéia de definir a tangente a partir do conceito de “tocar a curva em só em um ponto”, e procurar uma outra idéia.

Coeficiente Angular.

  • Exceto nos pontos nos quais a reta tangente é vertical, o problema de encontrar reta tangente no ponto $P$ se resume ao problema de determinar a inclinação da reta tangente à $f$ no ponto $P$, i.e., o coeficiente angular da reta tangente.
  • Um modo de atacar esse problema é aproximar o coeficiente angular da reta tangente utilizando retas que passam pelo ponto $P$ e por um segundo ponto, que denotaremos por $Q$. Ou seja , aproximando o coeficiente da reta tangente a $P$ pelo coeficiente da reta secante por $P$ e $Q$.
\scalebox{0.68}{ \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666} \definecolor{fftttt}{RGB}{243,102,25} \colorlet{fftttt}{ocre} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.2cm] \draw[->,color=black] (-5.,0.) -- (5.,0.); \draw[->,color=black] (0.,-5.) -- (0.,18.); \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-5.,-5.) rectangle (5.,18.); \draw[color=fftttt,smooth,samples=100,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)-2.0*(\x)+2.0}); \draw[smooth,samples=100,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{2.0*(\x)-2.0}); \begin{scriptsize} \draw[color=fftttt] (-2.268397978501311,16.150897353275045) node {$f$}; \draw[color=black] (-2.7688192681679267,-7.726347039389131) node {$m$}; \draw [fill=uuuuuu] (2.,2.) circle (1.5pt); \draw[color=uuuuuu] (2.592837406831526,1.9961237312765214) node {$P$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}}

Aproximando o Coeficiente Angular

Se considerarmos que o ponto $P$ tenha coordenadas $P:(x,f(x))$ e que o ponto $Q$ tenha coordenadas $Q:(x+h,f(x+h))$, então o coeficiente angular da reta secante é dado por:

(1)
\[m_{\sec}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
\scalebox{0.71}{ \definecolor{qqqqff}{RGB}{25,166,243} \definecolor{uququq}{rgb}{0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274} \definecolor{ffqqqq}{RGB}{243,102,25} \colorlet{ffqqqq}{ocre} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.3cm,y=0.06cm] \draw[->,color=black] (-8.,0.) -- (8.,0.); \draw[->,color=black] (0.,-15.) -- (0.,50.); \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \draw[smooth,domain=-8.0:8.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)}); \draw[color=ffqqqq,smooth,domain=-2.0:8.1] plot(\x,{(-3.0^(2.0)+(3.0+7.0/1000.0)^(2.0))*1000.0*((\x)-3.0)/7.0+3.0^(2.0)}); \draw [color=qqqqff,domain=-2.2:8.1] plot(\x,{(-25.67370141506087--13.920511903007057*\x)/1.787537143773235}); \draw (2.861667821121095,8.14712788201858) node[anchor=north west] {$P$}; \draw (3.8044137830923717,20.316295775434536) node[anchor=north west] {$Q$}; \begin{scriptsize} \draw[color=ffqqqq] (-4.146077162865396,-34.747813387674505) node {$h$}; \draw [fill=uququq] (2.999999999999629,8.999999999997776) circle (1.5pt); \draw [fill=black] (4.787537143772864,22.920511903004833) circle (1.5pt); \draw[color=qqqqff] (-2.5748338929132677,-34.747813387674505) node {$a$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}}

Conforme o ponto $Q$ se aproxima do ponto $P$ temos que a inclinação da reta secante por $P$ e $Q$ se aproxima da inclinação da reta tangente a $f$ no ponto $P$ e no ‘‘limite’’ é igual a inclinação. Assim temos:

\[m:=\limiteh{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

O limite anterior se existir, é denominado de derivada da função $f$ no ponto $x$.

Inclinação da reta tangente

Definição 1.
Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto contendo $a$. A inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a)$ é dado por

(2)
\[m:=\limiteh{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

desde que o limite exista.

Velocidade Instantânea

Suponha uma partícula que se move em linha reta e cuja posição em função de $t$ é dada pela função $s(t)$. A a velocidade média no intervalo $[t_0,t_0+\Delta t]$ é dada por:

(3)
\[v_m=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} \]

Podemos aproximar a velocidade instantânea no tempo $t$, como a velocidade média no intervalo $[t_0,t_0+\Delta t]$ tomando valores de $\Delta t$ suficientemente pequenos. A velocidade instantânea será o limite, quando $\Delta t \to 0$, das velocidades médias da partícula entre os instantes  $t_0$  e  $t_0+\Delta t$. Ou seja , temos a seguinte definição:

Definição de velocidade

Definição 2.
Se um ponto se move sobre a reta $l$ tal que sua posição é descrita por $s(t)$, então a velocidade no instante $t_0$ é dada por:

(4)
\[v:=\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} \]

desde que o limite exista.

Exemplo 1.
Se a posição de uma partícula é dada por $f(t)=t^2-5t$, onde $f(t)$ é medido em metros e $t$ em segundos.

  • Determine a velocidade no instante $a$. Qual a velocidade no instante $t=0$? E em $t=4$?.
  • Determine os intervalos de tempo que a partícula se move para a direita e para a esquerda.
  • Em que instantes a velocidade é $0$?

Resolução

A velocidade no instante $a$ é dada por

\[ \begin{aligned} v&=\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{f(a+\Delta t) - f(a)}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{(a+\Delta t)^2-5(a+\Delta t) - a^2+5a}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^2 + 2a\Delta t +(\Delta t)^2-5a-5\Delta t - a^2+5a}{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{ 2a\Delta t +(\Delta t)^2-5\Delta t }{\Delta t}\\ &=\lim_{\Delta t \to 0} 2a +\Delta t-5 \\ &= 2a -5 \end{aligned} \]

Logo a velocidade no instante $a$, $v(a)$ é dada por $v(a)=2a-5$.

A velocidade no instante $t=0$ é dada por $v(0)=-5m/s$ e no instante $t=4$ é dada por $v(4)=3m/s$.

Para determinarmos os instantes de tempo em que a partícula se move para a direita, temos que determinar os instantes de tempo nos quais a velocidade é positiva. Ou seja , queremos resolver:]

(5)
\[2a-5>0 \text{ e logo } a>5/2 \]

De modo análogo, para determinarmos os instantes de tempo em que a partícula se move para a esquerda, temos que determinar os instantes de tempo nos quais a velocidade é positiva. Ou seja , queremos resolver:

(6)
\[2a-5<0 \text{ e logo } a<5/2 \]

Para determinarmos os instantes em que a velocidade é zero temos que resolver $2a-5=0$ e logo $a=5/2$.

Taxas de Variação

Podemos generalizar o conceito de velocidade. Seja $Q$ uma grandeza que pode ser expressa como função da variável $x$ então:

Definição 3.
A variação média de uma grandeza $Q$ com respeito a variável $x$ no intervalo $[a,a+h]$ é definida como:

(7)
\[\dfrac{\Delta Q}{\Delta x}=\dfrac{Q(a + h) - Q(a)}{h} \]

E de modo análogo se tomarmos o limite $h\to 0$ podemos definir a variação instantânea.

Definição 4.
A variação instantânea de uma grandeza $Q$ com respeito a variável $x$ no ponto $a$ é definida como:

(8)
\[\diff{Q}{x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]

Exemplos de aplicações:

  • Encontrar a velocidade (taxa de alteração da posição em relação ao tempo) de um carro desportivo movendo-se ao longo de uma estrada reta.
  • Encontrar a taxa de crescimento de uma população de bactérias em função do tempo.
  • Encontrar a taxa de variação do índice de preços ao consumidor em relação ao tempo.
  • Encontrar a taxa de variação de lucro de uma empresa com respeito ao seu nível de venda.

Derivadas

Definição de Derivada

Definição [de Derivada].
Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto $a$. Definimos a derivada de $f(x)$ em $a$, denotada como $f '(a)$, como:

(9)
\[f '(a)= \limiteh{0} \dfrac {f(a + h) -f(a)}{h}. \]

se o limite existir.

Exemplo 2.
Calcule a derivada de $g=\sqrt{x}$ em $x=4$.

Resolucao

Queremos calcular $g '(4)$. Para tanto usaremos a definição de derivada:

(10)
\[ g '(4)= \limiteh{0} \dfrac {g(4 + h) -g(4)}{h} \]

Como

(11)
\[g(4)=2 \text{ e } g(4 + h)=\sqrt{4+h} \]

temos que

(12)
\[ g '(4)= \limiteh{0} \dfrac{\sqrt{4+h}-2 }{h} \]

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado temos:

\[ \begin{aligned} g '(4) &= \limiteh{0} \dfrac {\sqrt{4+h}-2 }{h} \dfrac{\sqrt{4+h}+2 }{\sqrt{4+h}+2 }\\ &= \limiteh{0} \dfrac {4+h-4}{h\left( \sqrt{4+h}+2 \right)}\\ &= \limiteh{0} \dfrac {h}{h\left( \sqrt{4+h}+2 \right)}\\ &= \limiteh{0} \dfrac {1}{\sqrt{4+h}+2}\\ &= \dfrac{1}{4} \end{aligned} \]
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.} \definecolor{ffqqtt}{rgb}{1.,0.,0.2} \colorlet{ffqqtt}{ocre} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.7cm,y=0.90cm] \draw[->,color=black] (-0.8,0.) -- (6.5,0.); \foreach \x in {,1.,2.,3.,4.,5.,6.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0.,-0.8) -- (0.,3.4); \foreach \y in {,1.,2.,3.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.8,-0.8) rectangle (6.5,3.4); \draw[line width=1.2pt,color=ffqqtt,smooth,samples=100,domain=6.999999999848863E-6:6.5] plot(\x,{sqrt((\x))}); \draw [domain=-0.8:6.5] plot(\x,{(--1.--0.25*\x)/1.}); \draw [dotted] (4.,2.)-- (4.,0.); \draw [dotted] (4.,2.)-- (0.,2.); \draw (4.56,2.2) node[anchor=north west] {$m=\frac{1}{4}$}; \begin{scriptsize} \draw[color=ffqqtt] (1.86,0.74) node {$\sqrt x$}; \draw [fill=qqqqff] (4.,2.) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

Exemplo 3.
Calcule a derivada de $f(x)= x$ no ponto $a$.

Resolução A derivada se existir será dada por:

\[ \begin{aligned} f'(a)&= \limiteh{0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \limiteh{0} \dfrac{x+h-x}{h}\\ &= \limiteh{0}1=1 \end{aligned} \]

Logo a derivada existe e é $1$.

Função Derivada

Quando existir $f'(a)$ dizemos que a função é diferenciável no ponto $a$. Se uma função $f: I \to \bbR$ é diferenciável em todos os pontos de seu domínio dizemos simplesmente que $f$ é diferenciável.

Se considerarmos o conjunto

\[ S=\{a\in \Dom f: f'(a) \text{ existe} \} \]

podemos definir a função $f':S \to \bbR$ que associa a cada $x\in S$ o número $f'(x)$. A função é denominada de função derivada de $f$ ou simplesmente de derivada de $f$.

Exemplo 4.
O Exemplo 3 mostra que $f(x)= x$ é diferenciável em todos os reais.

Assim podemos definir a função derivada de $f:\bbR \to \bbR$ e nesse caso a função derivada é constante e igual a $1$, i.e, $f'(x)= 1$.

Exemplo 5.
Calcule a derivada de $f(x)=x^3+x^2$.

Qual o domínio de $f'$?

Resolução

Pela definição

(13)
\[f'(x)=\limiteh{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Como

\[ \begin{aligned} f(x+h)&=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+x2+2hx+h^2\\ f(x)&=x^3+x^2 \end{aligned} \]

Temos que:

(14)
\[\scriptstyle f'(x)=\limiteh{0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+x^2+2hx+h^2-(x^3+x^2)}{h} \]

Simplificando temos:

(15)
\[f'(x)=\limiteh{0}3x^2+3xh+h^2+2x+h=3x^2+2x \]

Como a função $f$ é sempre diferenciável o domínio de $f'$ é $\bbR$.

Exemplo 6.
Seja $f(x)=\sqrt{x}$. Calcule a derivada de $f$. Qual o domínio de $f'$?

Resolução

Pela definição

(16)
\[f'(x)=\limiteh{0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Como

\[ \begin{aligned} f(x+h)&=\sqrt{x+h}\\ f(x)&=\sqrt{x} \end{aligned} \]

Temos que:

\[ \begin{aligned} f'(x)&=\limiteh{0} \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h}\\ &=\limiteh{0} \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x} }{h}\cdot \dfrac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x} }{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ &=\limiteh{0} \dfrac{x+h-x }{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &=\limiteh{0} \dfrac{1 }{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned} \]

Logo, o domínio de $f'$ é o conjunto dos reais positivos.

Definição Equivalente de Derivada

Seja $f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ uma função e seja $c \in \mathbb{R}$ Fazendo a substituição $x=c+h$ no limite e observando que com essa substituição temos que $h=x-c$ e $h \rightarrow 0 \Longleftrightarrow x \rightarrow c$. temos que

(17)
\[f'(c) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \]

De posse dessa informação podemos dar uma nova definição de derivada, equivalente a anterior:

Definição 6.
Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto $a$. Definimos a derivada de $f(x)$ em $a$, denotada como $f '(a)$, como:

(18)
\[f'(c) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \]

se o limite existir.

O limite $ f'(c) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ pode ser escrito de maneira abreviada usando a notação de variação como:

(19)
\[ f'(c) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x} \]

Isso motiva a notação de Leibniz:

Notação de Leibniz

Notação. [Notação de Leibniz] A derivada de $f$ em $c, f'(c)$ é denotada, também, da seguinte maneira

(20)
\[\left. \diff{f}{x}\right|_{x=c} := f'(c) \]

Já a função derivada $f'$ é denotada também do seguinte modo:

(21)
\[\diff{f}{x} :=f' \]

A notação de Leibniz tem a vantagem de deixar claro que a derivada é o limite do quociente das variações

(22)
\[ \diff{f}{x} =\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta f}{\Delta x} \]

Exemplo 7.
Calcule a derivada de $f(x)=x^{1/3}$ no ponto $a\neq0$.

Resolução

\[ \begin{aligned} \left. \diff{f}{x}\right|_{x=a} &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{x^{1/3}-a^{1/3}}{x-a}\\ &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{x^{1/3}-a^{1/3}}{(x^{1/3})^3-(a^{1/3})^3} \end{aligned} \]

Usaremos a fatoração:

(23)
\[c^3-d^3=(c-d)(c^2+cd+d^2) \]

com $c=x^{1/3}$ e $d=a^{1/3}$. Logo

\[ \begin{aligned} \left. \diff{f}{x}\right|_{x=a} &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{x^{1/3}-a^{1/3}}{(x^{1/3}-a^{1/3})(x^{2/3}+x^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3})}\\ &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{1}{(x^{2/3}+x^{1/3}a^{1/3}+a^{2/3})}\\ &=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{1}{(a^{2/3}+a^{2/3}+a^{2/3})}\\ &= \dfrac{1}{3a^{2/3} } \end{aligned} \]

Derivadas Laterais

Como a derivada de uma função $f$ em um ponto $a$ é definida como um limite, podemos calcular os limites laterais, à esquerda e à direita de $a$:

Definição [Derivadas Laterais].
A derivada pela direita é definida como

(24)
\[f'_{+}(a):=\lim_{{ x\to a+}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

e a derivada pela esquerda é definida como

(25)
\[f'_{-}(a):=\lim_{{ x\to a-}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}. \]

Claramente a derivada de uma função $f$ em um ponto $a$ existe se e somente se os limites laterais $f'_{+}(a) $ e $f'_{-}(a)$ existem e

\[f'_{+}(a)=f'_{-}(a) \]

Exemplo 8.
Mostre que a função $f(x)=\abs{x}$ não é diferenciável no $0$.

Resolução

Vamos calcular as derivadas laterais e ver que são diferentes:

Calculando a derivada pela direita

(26)
\[f'_{+}(a):=\lim_{{ x\to 0+}}\dfrac{\abs{x}}{x} \]
(27)
\[f'_{+}(a)=\lim_{{ x\to 0+}}1=1 \]

Calculando a derivada pela esquerda

(28)
\[f'_{-}(a):=\lim_{{ x\to 0-}}\dfrac{\abs{x}}{x} \]
(29)
\[f'_{-}(a):=\lim_{{ x\to 0+}}-1=-1 \]

Como as derivadas laterais são diferentes a derivada não existe.

O exemplo anterior mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de $f$ em um ponto, implica na continuidade de $f$ neste ponto.

Teorema 1.
Se $f$ é diferenciável no ponto $x$ então $f$ é continua em $x$. Equivalentemente, se $f$ não é continua em $x$ então $f$ não é diferenciável em $x$.

Demonstração. Como $f$ é diferenciável em $x$ temos que

(30)
\[\lim_{y \rightarrow x} {f(y)-f(x) \over y-x} = f'(x). \]

Então

(31)
\[\lim_{y \rightarrow x} \left[ f(y)-f(x) \right] = \lim_{y \rightarrow x} {f(y)-f(x) \over y-x} \lim_{y \rightarrow x} \left( y-x \right) = f'(x) \; 0 = 0 \]

Assim, $\lim_{y \rightarrow x} f(y) = f(x)$, logo $f$ é contínua em $x$.

Derivadas das Funções Clássicas

Teorema [Fórmulas de Derivação].
São válidas as seguintes fórmulas de derivação

a) Se $f(x) = k, $ $ \Longrightarrow \ f'(x)=0 ,$

b) Se $f(x)=x^n \ \Longrightarrow \ f'(x) = n\,x^{n-1} \text{ para }n \in \mathbb{Z}$ ,

c) Se $f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n} \ \Longrightarrow \ f'(x) = \dfrac{1}{n}\,x^{\dfrac{1}{n}-1},n \in \mathbb{Z}$

d) Se $f(x) = \sen x \ \Longrightarrow \ f'(x) =\cos x,$

e) Se $f(x) = \cos x \ \Longrightarrow \ f'(x) =-\sen x,$

f) Se $f(x) = e^x \Longrightarrow \ f'(x)= e^x ,$

g) Se $f(x)=\ln x \ \Longrightarrow \ f'(x) = \dfrac{1}{x},\quad x > 0 . $

Começaremos demonstrando o item a. Nesse caso

(32)
\[f'(x)=\limiteh{0} \dfrac{k-k}{h}= \limiteh{0}0=0 \]

Faremos duas demonstrações do item b. A primeira demonstração se baseia na seguinte fatoração:

(33)
\[ y^n - x^n = (y-x)(y^{n-1} + y^{n-2}x+ \cdots + yx^{n-2} + x^{n-1}). \]

Desse modo, temos:

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{y \to x} \dfrac{y^n-x^n}{y-x}\\ f'(x) &= \lim_{y \to x} \dfrac{(y-x)(y^{n-1} + y^{n-2}x+ \cdots + yx^{n-2} + x^{n-1})}{y-x}\\ &= \lim_{y\to x} (y^{n-1} + y^{n-2}x+ \cdots + yx^{n-2} + x^{n-1})\\ &= x^{n-1} + x^{n-1}+ \cdots + x^{n-1} + x^{n-1}\\ &= nx^{n-1}. \end{aligned} \]

A segunda demonstração se baseia na expansão dada pelo Binômio de Newton

\[ \begin{aligned} f'(x)&=\limiteh{0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \limiteh{0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &=\limiteh{0}\frac{\left(x^n+nx^{n-1}h +\frac{n(n-1)x^{n-2}h^2}{1\cdot 2} +\cdots+h^n\right)-x^n}{h}\\ &=\limiteh{0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{(n)(n-1)}{1\cdot 2} x^{n-2}h^2 +\cdots+h^n}{h}\\ &=\limiteh{0} \left( \vphantom{\frac12} nx^{n-1}+\frac{(n)(n-1)}{1\cdot 2}x^{n-2}h^1+\cdots+h^{n-1}\right)\\ &=nx^{n-1} \end{aligned} \]

Demonstração do item c. Fazendo a substituição $ u =\sqrt[n]{y} $ e $ v =\sqrt[n]{x}$ temos que quando $ y \to x ,\, u \to v.$ Assim

(34)
\[ f'(x) = \lim_{y \to x} \dfrac{\sqrt[n]{y}-\sqrt[n]{x}}{y-x} = \lim_{u\to v} \dfrac{u-v}{u^n-v^n} = \lim_{u\to v}\dfrac{1}{ \dfrac{u^n-v^n}{u-v}} \]

Usando o limite calculado no item anterior, temos finalmente que

(35)
\[=\dfrac{1}{nv^{n-1}}= \dfrac{1}{n x^{\dfrac{n-1}{n}}}= \dfrac{1}{n}\,x^{\dfrac{1}{n}-1}. \]

Demonstração do item d.

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{y \to x} \dfrac{\sen y -\sen \ x }{y-x} \\ &= \lim_{y \to x} \dfrac{ 2\sen \left(\dfrac{y-x}{2}\right) \cos \left(\dfrac{y+x}{2}\right) }{y-x}\\ &=\lim_{y \to x} \dfrac{\sen \left(\dfrac{y-x}{2} \right) \cos \left(\dfrac{y+x}{2}\right)}{\dfrac{y-x}{2}} \\ &=\lim_{y \to x} \dfrac{\sen \left(\dfrac{y-x}{2} \right) }{\dfrac{y-x}{2}} \lim_{y \to x} \cos \left(\dfrac{y+x}{2}\right) \end{aligned} \]

O primeiro limite pode ser calculado fazendo a substituição $h=(y-x)/2$ e assim quando $y\to x$ temos que $h\to0$

\[ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h \to 0} \dfrac{\sen \left(h\right) }{h} \lim_{y \to x} \cos \left(\dfrac{y+x}{2}\right)\\ &=\cos x . \end{aligned} \]

No limite acima usamos o Primeiro Limite Fundamental

(36)
\[\limiteh{0}\frac{\sen h}{h}=1. \]

Na dedução da derivada do $\sin$ usamos também a identidade Soma Produto

\[\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left({\dfrac {\alpha + \beta} 2}\right) \sin \left({\dfrac {\alpha - \beta} 2}\right) \]

Como essa identidade será utilizada posteriormente demonstraremos ela no Apêndice A

Demonstração do item e.

A demonstração da derivada do cosseno pode ser feita de maneira análoga ao item anterior usando a identidade Soma Produto. Uma segunda forma de demonstrar ambos os limites trigonométricos é a seguinte, usando apenas a fórmula do cosseno da adição

\[\diff{}{x}\,\cos x = \lim_{ h \to 0} \left( \frac{\cos(x+ h)-\cos x}{ h} \right). \]

Usando a fórmula da adição para o cosseno

\[\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \]

temos

\[ \diff{}{x}\cos x = \lim_{ h \to 0} \left( \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h-\cos x}{ h} \right) = \]
\[ \lim_{ h \to 0} \left[ \left(\frac{\cos h -1}{ h}\cos x\right) - \left(\frac{\sin h}{ h} \sin x\right) \right] . \]

E assim

\[\diff{}{x}\cos x = (0 \cdot \cos x) - (1 \cdot \sin x) = -\sin x \]

Demonstração do item f.

(37)
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h}-e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} = e^x \]

No cálculo do limite acima usamos o Terceiro Limite Fundamental:

(38)
\[ \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h}=1. \]

Demonstração do item g.

(39)
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right). \]

Fazendo $u = \dfrac{h}{x}$ temos que para $h\to 0,\, u \to 0, $ assim

(40)
\[ \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^\frac{1}{h} = \lim_{u \to 0} \dfrac{1}{x}\ln\bigl(1+u \bigr)^\frac{1}{u} = \dfrac{1}{x}\ln e = \dfrac{1}{x}, \]

na última igualdade usamos o Segundo Limite Fundamental, $ \displaystyle \lim_{u \to 0}\bigl(1+u \bigr)^\frac{1}{u} = e.$

Regras de Derivação

Derivada da Soma

Teorema [Derivada da Soma e Subtração].
Se $f$ e $g$ são funções diferenciáveis em $x=a$ então a função $f\pm g$ é diferenciável em $a$ e

(41)
\[\left(f\pm g\right)'(a)=f'(a) \pm g'(a). \]

Demonstração

Faremos a demonstração do caso da soma. O caso da subtração é similar.

Seja $h(x) = f(x) + g(x)$, e suponha que $f$ e $g$ são ambas diferenciáveis em $x=a$. Queremos provar que $h$ é diferenciável em $x=a$ e que sua derivada $h'(x)$ é dada por $f'(x)+g'(x)$.

(42)
\[h'(a) = \lim_{t\to 0} \dfrac{h(a+t)-h(a)}{t} \]
(43)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{[f(a+t)+g(a+t)]-[f(a)+g(a)]}{t} \]
(44)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{f(a+t)-f(a)+g(a+t)-g(a)}{t} \]
(45)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{f(a+t)-f(a)}{t} + \lim_{t\to 0} \dfrac{g(a+t)-g(a)}{t} \]
(46)
\[= f'(a)+g'(a). \]

Exemplo 9.
Calcule a derivada de $f(x)=\sqrt[3]{x^5}+\sqrt[5]{x^3}$

Resolução

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}\left[\sqrt[3]{x^5}+\sqrt[5]{x^3}\right]&= \diff{}{x}\sqrt[3]{x^5}+\diff{}{x}\sqrt[5]{x^3}\\ &= \diff{}{x}x^{5/3}+\diff{}{x}x^{3/5}\\ &=\frac{5}{3}x^{5/3-1}+\frac{3}{5}x^{3/5-1}\\ &=\frac{5}{3}x^{2/3}+\frac{3}{5}x^{-2/5}\\ &=\frac{5\sqrt[3]{x^2}}{3}+\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}} \end{aligned} \]

Exemplo 10.
Calcule a equação reta tangente a $f(x)=x^4+\sqrt{x}$ no ponto $x=1$.

Resolução

Começaremos calculando o coeficiente angular $m=f'(1)$. Para calcularmos a derivada utilizaremos a propriedade da Derivada da Soma:

(47)
\[f'(x)=4x^3+\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Calculando em $x=1$:

(48)
\[f'(1)=4+\dfrac{1}{2} \]

e logo $f'(1)=\dfrac{9}{2}$

A reta tangente passa pelo ponto $(1,f(1))=(1,2)$ e tem coeficiente angular $\dfrac{9}{2}$, logo sua equação é:

(49)
\[y-2=\dfrac{9}{2}(x-1) \]

Derivada do Produto por uma Constante

Teorema [Derivada do Produto por uma Constante].
Se $f$ é uma função diferenciável em $x=a$ e $c\in \bbR$ então a função $cf$ é diferenciável em $a$ e

(50)
\[\left(cf\right)'(a)=cf'(a). \]

Demonstração.

Seja $h(x) = cf(x)$. Queremos provar que $h$ é diferenciável em $x=a$ e que sua derivada $h'(x)$ é dada por $f'(x)+g'(x)$.

(51)
\[h'(a) = \lim_{t\to 0} \dfrac{h(a+t)-h(a)}{t} \]
(52)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{cf(a+t)-cf(x)}{t} \]
(53)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{c[f(a+t)-f(x)]}{t} \]
(54)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{cf(a+t)-cf(x)}{t} \]
(55)
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{c[f(a+t)-f(x)]}{t} \]
(56)
\[ = c\lim_{t\to 0} \dfrac{f(a+t)-f(x)}{t} \]
(57)
\[= cf'(x). \]

Exemplo 11.
Calcule a derivada de $f(x)=2x^3-9x^2+12x+4$

Resolução.

\[ \begin{aligned} &\diff{}{x}\left[2x^3-9x^2+12x+4\right]=\\ &= \diff{}{x}2x^3-\diff{}{x}9x^2+\diff{}{x}12x+\diff{}{x}4\\ &=2 \diff{}{x}x^3-9\diff{}{x}x^2+12\diff{}{x}x+\diff{}{x}4\\ &= 6x^2-18x+12 \end{aligned} \]

Derivada do Produto

Teorema [Derivada do Produto].
Se $f$ e $g$ são funções diferenciáveis em $x=a$ então a função $f\cdot g$ é diferenciável em $a$ e

(58)
\[\left(f\cdot g\right)'(a)=f'(a) g(a) + f(a) g'(a). \]

Seja $m(x) = f(x) g(x)$, e suponha que $f$ e $g$ são ambas diferenciáveis em $x=a$. Queremos provar que $h$ é diferenciável em $x=a$ e que a derivada $m'(a)$ é dada por $f'(a) g(a) + f(a) g'(a)$.

(59)
\[m'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{m(x+a)-m(x)}a \]
(60)
\[m'(x)= \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \]
(61)
\[ = \scriptstyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \]
\[ = \lim_{h\to 0} \dfrac{[f(x+h)-f(x)] \cdot g(x+h) + f(x) \cdot [g(x+h)-g(x)]}{h} \]
(62)
\[ = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+a)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h\to 0} g(x+h) \]
(63)
\[+ \lim_{h\to 0} f(x) \cdot \lim_{h\to 0} \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \]
(64)
\[= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

Exemplo 12.
Derive $f(x) = x\sen x$

Resolução. Utilizando a fórmula da derivada do produto temos:

\[ \begin{aligned} f'(x) &= 1.\sen x + x \cos x \nonumber \\ &= \sen x +x \cos x \nonumber \end{aligned} \]

Exemplo 13.
Calcule a derivada de $g(x)=e^x \sqrt{x}$

Resolução. Utilizando a fórmula da derivada do produto temos:

\[ \begin{aligned} f'(c) &= e^x.\sqrt{x} + e^x \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \nonumber \\ &= \sen x +x \cos x \nonumber \end{aligned} \]

Derivada do Quociente

Teorema [Derivada do Quociente].
Se $f$ e $g$ são funções diferenciáveis em $x=a$ com $g(a) \neq 0$, então a função $\dfrac{f}{g}$ é diferenciável em $a$ com

(65)
\[\left(\dfrac{f}{g}\right)'(a) = \dfrac{f'(a) g(a) - f(a) g'(a)}{(g(a))^2} . \]

Demonstração

Considere a função $m=\frac{f}{g}$. Como $g(a)\neq0$ e $g$ é contínua, existe $\epsilon > 0$ tal que $\left|{h}\right| < \epsilon \implies g (a+h) \ne 0$. Ou seja , a função $m$ está definida numa vizinhança de $a$. Pela definição de derivada temos:

(66)
\[ \limiteh{0} \frac {m (a+h) - m (a)}{ h} \]
(67)
\[=\limiteh{0} \frac 1 h \left({\frac{f (a+h)}{g (a+h)} - \frac {f (a)}{g (a)} }\right) \]
(68)
\[ \limiteh{0} \frac {f (a+h) g (a) - g (a+h) f (a)} {h g (a+h) g (a)} \]
(69)
\[\scriptstyle=\limiteh{0} \frac 1 {g (a+h) g (a)} \left({ \frac{f (a+h) - f (a)} h g (a) - f (a) \frac{g (a+h) - g (a) } h }\right) \]

O Limite 1 pode ser calculado pela continuidade de $g$ em $a$

(70)
\[\limiteh{0} \frac{1}{g(a+h) g (a)}= \frac 1 {g (a)^2} \]

Os Limites 2 e 3 são as definições das derivadas de $f$ e $g$ em $a$, ou seja :

(71)
\[\limiteh{0} \frac{f (a+h) - f (a)}{ h} =f'(a) \text{ e } \limiteh{0}\frac{ g (a+h) - g (a) }{ h} =g'(a) \]

Logo:

$\displaystyle \limiteh{0} \frac {m (a+h) - m (a)} h = \frac 1 {g (a)^2} \left({f^\prime (a) g (a) - f (a) g^\prime (a)}\right)$

Exemplo 14.
Calcule a derivada de $f(x) = \dfrac{2x^2 -x + 1}{x+1}$.

Resolução.

Então, se $x \neq -1$ temos que

(72)
\[f'(x) = \dfrac{\left(4x-1\right) \left(x+1 \right) - \left(2x^2 - x + 1 \right)}{\left(x+1\right)^2}. \]

Temos que, para todo $x \neq -1$,

(73)
\[f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 + 2x - 1\right) }{\left(x+1\right)^2}. \]

Exemplo 15.
Calcule a derivada de $\dfrac{4x - 2}{x^2 + 1}.$

Resolução.

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(4)(x^2 + 1) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\ &= \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} \]

Exemplo 16.
Calcule a derivada de $\tan x$

Resolução. Como $\tan x =\dfrac{\sen x}{ \cos x}$, usando a regra do quociente temos:

(74)
\[ \diff{}{x} \tan x = \diff{}{x} =\dfrac{\sen x}{ \cos x} \]
(75)
\[= \dfrac{\diff{}{x} \sen x \cos x-\sen x \diff{}{x} \cos x}{\cos^2 x} \]
(76)
\[= \dfrac{ \cos^2 x+ \sen^2 x }{\cos^2 x}= \dfrac{ 1 }{\cos^2 x} = \sec^2 x \]

Exemplo 17.
Encontre todos os pontos no gráfico de $y = x^3 - 3x$, onde a reta tangente é horizontal.

Resolução

A inclinação de uma reta tangente ao gráfico de $y = x^3 - 3x$ é dada pela derivada

(77)
\[y '= 3x^2 - 3 \]

Como as retas que são paralelas ao eixo dos $x$ tem inclinação angular $0$, nós agora encontraremos todos os valores de x para os quais $y'= 0$. Para isso resolveremos a equação

(78)
\[3x ^2 - 3= 0 \]

E assim

(79)
\[x = -1 \text{ e }x = 1 \]

Os valores acima são as coordenadas $x$ dos pontos em que as linhas tangentes são paralelos ao eixo $x$. Encontraremos as coordenadas $y$ destes pontos usando que $y = x^3 - 3x$. Assim, para $x = -1, y = 2$ e para $x = 1, y = -2$

Logo os pontos em que as linhas tangentes são paralelas ao eixo x, são: $(-1,2)$ e $(1, -2)$.

\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666} \definecolor{ffqqtt}{rgb}{1.,0.,0.2} \colorlet{ffqqtt}{ocre} \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm] \draw[->,color=black] (-2.7,0.) -- (2.7,0.); \foreach \x in {-2.,-1.,1.,2.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=black] (0.,-3.4) -- (0.,3.4); \foreach \y in {-3.,-2.,-1.,1.,2.,3.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-2.7,-3.4) rectangle (2.7,3.4); \draw[line width=1.2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-2.7:2.7] plot(\x,{(\x)^(3.0)-3.0*(\x)}); \draw [color=ffqqtt,domain=-2.7:2.7] plot(\x,{(-2.-0.*\x)/1.}); \draw [color=ffqqtt,domain=-2.7:2.7] plot(\x,{(--2.-0.*\x)/1.}); \draw (-2.3,3.06) node[anchor=north west] {$f(x) \, = \,x^{3} - 3 \; x$}; \begin{scriptsize} \draw [fill=uuuuuu] (1.,-2.) circle (1.5pt); \draw [fill=uuuuuu] (-1.,2.) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}

A Regra da Cadeia

A Regra da Cadeia nos fornece uma fórmula para determinar a derivada de uma função composta $ h = f \circ g $ em termos das derivadas de $ f$ e $g.$

Teorema [Regra da Cadeia].
Sejam $f(x)$ e $g(t)$ funções diferenciáveis com $\Img g\subset \Dom f$. Então $h=f\circ g$ é diferenciável e sua derivada é dada por

(80)
\[ h'(t) = f'(g(t)) g'(t),\quad \text{para todo} \ t\in \Dom g. \]

Demonstração. Faremos a demonstração apenas no caso no qual $ g(t) \neq g(t_0) ,$ num intervalo aberto contendo $t_0$. Considere $h=f\circ g$ então,

(81)
\[ h'(t_0) = \lim_{t \to t_0} \dfrac{f(g(t)) - f(g(t_0))}{t-t_0} \]
(82)
\[= \lim_{t \to t_0} \dfrac{f(g(t)) - f(g(t_0))}{g(t)-g(t_0)}\dfrac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0} \]
(83)
\[=f'(g(t_0))g'(t_0). \]

Notação.

Nas condições do Teorema [Regra da Cadeia] fazendo as substituições:

(84)
\[\left\{\begin{array}{lll} y=f(x) & \ \Longrightarrow \ & \displaystyle\diff{y}{x} = f'(x) = f'(g(t)) \vspace{2mm} \\ x=g(t) & \ \Longrightarrow \ & \displaystyle\diff{x}{t} = g'(t). \end{array}\right. \]

em ((80)), obtemos

(85)
\[ \displaystyle\diff{y}{t} = \diff{y}{x}\ \diff{x}{t}, \quad \textrm{para todo} \ t\in \Dom g\,. \]

Observação. Um modo de recordar a Regra da Cadeia é utilizando a notação de Leibniz.

(86)
\[\displaystyle\diff{y}{t} = \diff{y}{x}\ \diff{x}{t} \]

Exemplo 18.
Calcule a derivada de $ h(t)=\sin(t^2).$

Resolução. Fazendo $ g(t) = t^2 $ e $ f(x) = \sin x, $ então $h(t) = f(g(t)),\, g'(t) = 2t, \, f'(x) = -\cos x .$ Pela Regra da Cadeia,

(87)
\[ h'(t) = f'(g(t))g'(t) = - \cos(t^2) 2t. \]

Observação. Observe que ao aplicar a Regra da Cadeia diferenciamos primeiro a função de fora $f$ e avaliamos na função de dentro $g(x)$ e então multiplicamos pela derivada da função de dentro.

(88)
\[f(g(x))'=\underbrace{f'(g(x))}_{\color{azul}\parbox{2.5cm}{\tiny \text Derivada da função de fora calculada na de dentro}}\cdot \underbrace{g'(x)}_{\parbox{2cm}{\text{\color{azul} \tiny Derivada da função de dentro }}} \]

Exemplo 19.
Calcule a derivada de $ h(t)=\ln(5t+3).$

Resolução. Fazendo $ g(t) = 5t+3 $ e $ f(x) = \ln x, $ então $ h(t)= f(g(t)),\, g'(t) = 6, \, f'(x) = \dfrac{1}{x}.$ Pela Regra da Cadeia,

(89)
\[ h'(t) = f'(g(t))g'(t) = \dfrac{1}{5t+3}5 = \dfrac{5}{5t+3} . \]

Exemplo 20.
Calcule a derivada de $h(x) = \cos \left(\sqrt{x}\right)$.

Resolução. Faça $f(x) = \cos(x)$ e $g(x) = \sqrt{x}$. Então $h = m \circ g$. Como $f'(x) = -\sin(x)$ e $g'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ temos que

(90)
\[h'(x) = \left(f \circ g\right)' (x) = -\sin \left(\sqrt{x}\right) . \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. \]

para todo $x > 0$.

Regra da Potência

Utilizando a regra da Cadeia podemos generalizar a regra de derivação de potências inteiras $x^n$, com $n\in\bbN$, para potências reais $x^c$, com $c\in\bbR$.

Teorema [Regra da Potência].
Seja $c $ um número real e $ x > 0$ então

(91)
\[(x^c)'=cx^{c-1} \text{ para todo } x > 0 \]

Demonstração. Começamos notando que

\[ x^c = e^{\ln x^c} = e^{c \ln x} \]

e pela Regra da Cadeia

(92)
\[ \diff{}{x}x^c = \diff{}{x} e^{c \ln x} = e^{c \ln x} \diff{}{x}( c \ln x )= x^c c \dfrac{1}{x} = c x^{c-1} . \]

Logo

(93)
\[ (x^c)'=cx^{c-1} \mbox{ para todo } x > 0 \]

Exemplo 21.
Calcule a derivada de $(3x-7)^\pi$.

Resolução. Usando a Regra da Cadeia e da Potência temos:

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}(3x-7)^\pi&= \pi(3x-7)^{\pi-1}\diff{}{x}(3x-7)\\ &= 3\pi(3x-7)^{\pi-1} \end{aligned} \]

Derivada da Função Inversa

Se $f$ é uma função continua e injetiva no intervalo $I$ pode-se mostrar que $f$ tem inversa $f^{-1}$ e que esta é continua. O seguinte teorema nos diz quando a função inversa é diferenciável.

Teorema [Teorema da Função Inversa].
Seja $f$ uma função injetiva e diferenciável no intervalo $I$, com derivada $f'(f^{-1}(b)) \neq 0$. Então $f^{-1}$ é diferenciável em $b$, e

(94)
\[(f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(b))}. \]

Observação. Um modo de recordar a fórmula anterior é utilizando a notação de Leibniz. Para isso escreva $y=f^{-1}(x)$ e assim $f(y)=x$.

(95)
\[\diff{y}{x}=\dfrac{1}{\diff{x}{y}} \]

Exemplo 22.
Mostre que se $g(x)=x^{\frac{1}{n}}$ então

\[ g'(x) =\dis\frac{1}{n}\, x^{\frac{1}{n} -1}, \]

onde $x>0$ se $n$ for par e $x\neq 0$ se $n$ for ímpar $(n\geq 2)$.

Resolução. Observamos inicialmente que $ g(x) = x^{\frac{1}{n}}$ é a função inversa de $f(x) = x^n. $ Assim

(96)
\[ g'(x) = (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{nx^\frac{n-1}{n}} = \frac{1}{n}\, x^{\frac{1}{n} -1}. \]

Derivação Implícita

Em geral, as funções são dadas na forma $ y = f(x). $ Entretanto, algumas funções são definidas implicitamente por uma equação nas variáveis $x$ e $y$:

(97)
\[ F(x,y)=0 \]

Dizemos que uma função $y=f(x)$ é definida implicitamente por tal equação se o ponto $(x,f(x)$ for solução da equação (97) para todo $x \in \Dom f$.

Exemplo 23.
Determine uma função definida implicitamente pela equação $y^2+x^2y-4=0$.

Resolução. Podemos usar Bhaskara para resolver em $y$ e assim

(98)
\[y=-x^2\pm \sqrt{x^4+16}{2} \]

Exemplo 24.
Uma elipse é caracterizada pela equação

(99)
\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \]

Determine uma função definida implicitamente pela equação da elipse.

Resolução.

\[ \begin{aligned} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\\ \dfrac{x^2}{a^2}&=1-\dfrac{y^2}{b^2}\\ x^2&=a^2(1-\dfrac{y^2}{b^2})\\ x&=\pm a \sqrt{1-\dfrac{y^2}{b^2}} \end{aligned} \]

Quando uma função nos é fornecida implicitamente, para calcular a derivada de $ y $ em relação a $x$ utilizamos a derivação implícita, que consiste em supor que $y$ pode ser escrito como uma função de $x$, $y(x)$, e diferenciar ambos os lados da equação, aplicar as regras de diferenciação e finalmente resolver a equação resultante de modo a isolar a derivada da função definida de forma implícita.

Exemplo 25.
Mostre que $\diff{}{x}\ln(x)=\dfrac{1}{x}$.

Resolução. Seja $y=\ln(x)$ logo $x=e^y$. Derivando implicitamente temos que $1=e^y\diff{y}{x}$ e logo $\diff{y}{x}=1/e^y=1/x$.

Exemplo 26.
Se $ x^3 + y^3 = 6xy, $ encontre $ \diff{y}{x}.$

derivadaimpl3

Resolução. Derivando ambos os lados da equação em relação a $x,$ obtemos $3x^2 + 3y^2y' = 6y+6xy'. $ Resolvendo em $y'$

(100)
\[ y' = \dfrac{2y^2-x^2}{y^2-2x}. \]

Exemplo 27.
Calcule a derivada de $\cos x+ \cos y =1/2$.

derivadaimpl4

Resolução. Derivando implicitamente:

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}\left( \cos x+ \cos y \right) &=\diff{}{x}1/2\\ -\sin x-\sin y y' &=0\\ y'&=-\cossec y \sin x \end{aligned} \]

Exemplo 28.
Calcule a derivada de $\sin \dfrac{x}{y} =\dfrac{1}{2}$

derivadaimpl

Resolução. Derivando implicitamente temos:

\[ \begin{aligned} \sin \dfrac{x}{y} &=\dfrac{1}{2}\\ \cos \dfrac{x}{y} \left(\dfrac{y-x \diff{y}{x}}{y^2} \right)&=0\\ y-x \diff{y}{x}&=0\\ \diff{y}{x}&=\dfrac{y}{x} \end{aligned} \]

Exemplo 29.
Considere a função $y = y(x)$ definida implicitamente por

(101)
\[\tan(x+y) = \sin(xy). \]

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto $(\sqrt{\pi}, -\sqrt{\pi})$.

Resolução

Diferenciando ambos lados da equação acima com relação a $x$ temos que

(102)
\[\sec ^2 (x+y) \diff{}{x} (x + y) = \cos (xy) \diff{}{x} (xy). \]

Portanto,

(103)
\[\sec ^2 (x+y) ( 1 + \diff{}{x} y) = \cos (xy) (y + x \diff{}{x} y ). \]

Resolvendo, temos que

(104)
\[\diff{y}{x} = \dfrac{y \cos(xy) - \sec ^2 (x+y)}{\sec ^2 (x+y) - x \cos (xy)}. \]

Sabemos que $y(\sqrt{\pi}) = -\sqrt{\pi}$. Logo, a derivada de $y$ com relação a $x$ em $\sqrt{\pi}$ é dada por

\[ \begin{aligned} \diff{y}{x} &= \dfrac{y \cos(xy) - \sec ^2 (x+y)}{\sec ^2 (x+y) - x \cos (xy)} \nonumber \\ &= \dfrac{\sqrt{\pi} -1}{\sqrt{\pi} + 1}. \nonumber \end{aligned} \]

Logo, a equação da reta tangente à curva no ponto $(\sqrt{\pi},-\sqrt{\pi})$ é dada por:

(105)
\[s = \dfrac{\sqrt{\pi} - 1}{\sqrt{\pi} + 1} (x - \sqrt{\pi}) - \sqrt{\pi}. \]

Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo

Teorema 10.
Dado $a$ um número real positivo então

(106)
\[\diff{}{x}a^x= a^x \ln a \]

Demonstração. Aplicando logaritmo natural a ambos os lados da equação $y=a^x$ temos:

(107)
\[\ln y = \ln a^x \]

o que implica em:

(108)
\[\ln y = x \ln a \]

Aplicando a função exponencial a ambos os lados da equação da equação anterior temos:

\[ \begin{aligned} e^{\ln y }&= e^{x \ln a}\\ y&= e^{x \ln a} \end{aligned} \]

Assim $a^x=e^{x\ln a}$ e podemos derivar essa função usando a regra da cadeia:

(109)
\[\diff{}{x}a^x= e^{x\ln a}\ln a = a^x \ln a \]

Teorema 11.
Dados $b$ um número positivo real diferente de $1$ e $x$ um número real positivo, então:

(110)
\[\diff{}{x}\log_a x= \dfrac{1}{x \ln a} \]

Demonstração. Pela propriedade de mudança de base do logaritmo temos:

\[ \begin{aligned} \log_a x&= \dfrac{\log_e x}{\log_e a}\\ &= \dfrac{\ln x}{\ln a}\\ \end{aligned} \]

E derivando temos:

(111)
\[\diff{}{x}\log_a x=\diff{}{x}\dfrac{\ln x}{\ln a}= \dfrac{1}{x \ln a} \]

Exemplo 30.
Calcule a derivada de $y=\log_{10}(x^2+1)$.

Resolução. Usando a regra da Cadeia temos:

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}\log_{10}(x^2+1)=\dfrac{1}{x^2+1} \ln 10 \cdot 2x \end{aligned} \]

Derivada de $f^g$

Para derivarmos funções da forma $h(x)=[f(x)]^{g(x)}$ podemos utilizar o próximo teorema, ou usar a estratégia apresentada em sua demonstração: aplicar logaritmo a ambos os lados da identidade $h(x)=[f(x)]^{g(x)}$, simplificar e posteriormente aplicar a função exponencial.

Teorema 12.
Sejam $f(x)$ e $g(x)$ diferenciáveis. Então a derivada de

(112)
\[h(x)=[f(x)]^{g(x)} \]

é dada por

(113)
\[ h'(x)=[f(x)]^{g(x)}(g'(x)\ln[f(x)]+g(x)f'(x)f(x)) \]

Demonstração. Começamos aplicando logaritmo de ambos os lados de $h(x)=[f(x)]^{g(x)}$, temos:

(114)
\[\ln h(x) =g(x)\ln [f(x)] \]

Exponenciando ambos os lados da equação temos:

(115)
\[h(x)=e^{g(x)\ln[f(x)]} \]

Derivando, temos

(116)
\[h'(x)=e^{g(x)\ln[f(x)]}.(g'(x)\ln[f(x)]+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}) \]

Como $e^{g(x)\ln[f(x)]}=[f(x)]^{g(x)}$

(117)
\[h'(x)=[f(x)]^{g(x)}.(g'(x)\ln[f(x)]+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}) \]

Exemplo 31.
Calcule a derivada de $x^x$

Aplicando logaritmo natural a ambos os lados da equação $y=x^x$ temos:

(118)
\[\ln y = \ln x^x \]

o que implica em:

(119)
\[\ln y = x \ln x \]

Aplicando a função exponencial a ambos os lados da equação da equação anterior temos:

\[ \begin{aligned} e^{\ln y }&= e^{x \ln x}\\ y&= e^{x \ln x} \end{aligned} \]

Ou seja ,

(120)
\[x^x=e^{x \ln x} \]

Derivando temos

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}x^x&=\diff{}{x}e^{x \ln x}\\ &=e^{x \ln x}\diff{}{x}(x \ln x)\\ &=e^{x \ln x}(1 \ln x+x\dfrac{1}{x})\\ &=e^{x \ln x}( \ln x+1)\\ &=x^x( \ln x+1) \end{aligned} \]

Exemplo 32.
Calcule a derivada de $ (\sin x) ^{\cos x}$

Aplicando logaritmo natural a ambos os lados da equação $y= (\sin x) ^{\cos x}$ temos:

(121)
\[\ln y = \ln (\sin x) ^{\cos x} \]

o que implica em:

(122)
\[\ln y = \cos x \ln(\sin x) \]

Aplicando a função exponencial a ambos os lados da equação da equação anterior temos:

\[ \begin{aligned} e^{\ln y }&= e^{\cos x \ln(\sin x)}\\ y&= e^{\cos x \ln(\sin x)} \end{aligned} \]

Ou seja ,

(123)
\[(\sin x) ^{\cos x}=e^{\cos x \ln(\sin x)} \]

Derivando temos

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}(\sin x) ^{\cos x}&=\diff{}{x}e^{\cos x \ln(\sin x)}\\ &=e^{\cos x \ln(\sin x)}\diff{}{x}(\cos x \ln(\sin x))\\ &=(\sin x) ^{\cos x}(-\sen x \ln(\sin x)+ \cos x \dfrac{1}{\sin x} \cos x)\\ &=(\sin x) ^{\cos x}( -\sen x \ln(\sin x)+ \dfrac{(\cos x)^2}{\sin x} ))\\ &=(\sin x) ^{\cos x}( -\sen x \ln(\sin x)+ \dfrac{(\cos x)^2}{\sin x} )) \end{aligned} \]

Derivação das Funções Trigonométricas Inversas

As funções seno, cosseno e tangente não são bijetivas em seus domínios.

Assim para definirmos suas inversas fizemos restrições no domínio e contradomínio de modo a obtermos funções restritas bijetivas e podermos definirmos inversas.

Teorema 13.
Seja $\arcsin x:[-1,1]\to\left[\dis\dfrac{-\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2}\right] $ então

(124)
\[\arcsin'x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Demonstração

A função $\sin x$ é injetiva no intervalo $\left[\dis\dfrac{-\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ com imagem o intervalo $[-1,1].$ Portanto, existe a função inversa $g(x)=\arcsin x,$ para $ x \in[-1,1],$ dada por

(125)
\[ y = \arcsin x \Longleftrightarrow \sen y = x. \]

Apresentaremos duas formas de derivar a função $\arcsin x,$, aplicando a Proposição [Teorema da Função Inversa] e utilizando derivação implícita.

Primeiramente derivaremos utilizando a Proposição [Teorema da Função Inversa], assim:

(126)
\[ \arcsin'x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}. \]

Como $ 1 = \cos^2(\arcsin x ) +\sen^2(\arcsin x) = \cos^2(\arcsin x ) +x^2,$ logo $ \cos(\arcsen x) = \sqrt{1-x^2} $ pois $\cos y \geq 0 $ para $ -\pi/2 \leq y \leq \pi/2.$

Portanto,

(127)
\[ \arcsin'x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Utilizando derivação implícita.

(128)
\[ y = \arcsin x \qquad \Longleftrightarrow \qquad \sen y = x, \qquad -\dfrac{\pi}{2} \leq y \leq \dfrac{\pi}{2}. \]

Derivando implicitamente,

(129)
\[ \cos y \diff{y}{x} = 1 \qquad \textrm{ou} \qquad \diff{y}{x} = \dfrac{1}{\cos y}. \]

Como $ 1 = \cos^2 y + \sen^2 y =\cos^2 y - x^2.$

Como $\cos y \geq 0 $ para $ -\pi/2 \leq y \leq\pi/2 ,$ concluímos que

(130)
\[ \arcsin'x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]

Teorema 14.
Seja $\arccos x:[-1,1]\to\left[0,\pi\right] $ então

(131)
\[\arccos'x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

A função $\cos x$ é injetiva no intervalo $\left[0,\pi\right]$ com imagem o intervalo $[-1,1].$ Portanto, existe a função inversa $g(x)=\arccos x,$ para $ x \in[-1,1],$ dada por

(132)
\[ y = \arccos x \Longleftrightarrow \cos y = x. \]

}

Se $y=\arccos x$ então:

(133)
\[\cos y=x \]

Usando derivação implícita temos

(134)
\[\diff{}{x}\cos y=\diff{}{x}x \]
(135)
\[-\diff{y}{x}\sin y=1 \]

Substituindo $\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}$ temos:

(136)
\[-\diff{y}{x}\sqrt{1-\cos^2 y} =1 \]

Finalmente substituindo $x=\cos y$ temos:

(137)
\[-\diff{y}{x}\sqrt{1-x^2} =1 \]
(138)
\[\diff{y}{x} = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

Teorema 15.
Seja $\arctan x:[-1,1]\to\left[-\pi/2,\pi/2\right] $ então

(139)
\[\arctan'x = \dfrac{1}{1+x^2} \]

A função $\tan x$ é injetiva no intervalo $\left[\dis\dfrac{-\pi}{2}\,,\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ com imagem $\bbR.$ Portanto, existe a função inversa $g(x)=\arctan x,$ para $ x \in \bbR,$ dada por

(140)
\[ y = \arctan x \Longleftrightarrow \tan y = x. \]

Se $y=\arctan x$ então $\tan y=x$. Derivando implicitamente temos:

(141)
\[\diff{}{x}\tan y=\diff{}{x}x \]

O lado esquerdo fica:

(142)
\[ \diff{}{x}\tan y = \diff{}{x}\dfrac{\sin y}{\cos y} = \dfrac{\diff{y}{x} \cos^2 y + \sin^2 y \diff{y}{x}}{\cos^2 y} = \diff{y}{x} \left (1 + \tan^2 y \right) \]

Enquanto que o lado direito:

(143)
\[\diff{}{x}x = 1 \]

Assim

(144)
\[\diff{y}{x}(1+\tan^2 y)=1 \]

Substituindo $x=\tan y$ temos

(145)
\[\diff{y}{x}(1+x^2)=1 \]
(146)
\[\diff{y}{x}=\dfrac{1}{1+x^2} \]

De modo análogo podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas inversas.

Teorema [Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas].

  • $\diff{}{x}\arcsen x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
  • $\diff{}{x}\arccos x=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
  • $\diff{}{x}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
  • $\diff{}{x}\operatorname*{arcsec} x=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$
  • $\diff{}{x}\arccotg x=\dfrac{-1}{1+x^{2}}$
  • $\diff{}{x}\arccossec x=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$

Taxas Relacionadas

Quando duas quantidades são relacionadas por uma equação, conhecendo o valor de uma quantidade podemos determinar o valor da outra.

O tema da taxas relacionadas leva isso um passo além: conhecendo a taxa na qual uma quantidade está mudando pode determinar a taxa na qual as outras mudanças estão ocorrendo

Para ver isso suponha que $ z $ representa uma quantidade que dependa de outras duas quantidades $ x $ e $ y,$ ou seja $ z = f(x) $ e $ z = u(y).$ A relação entre $ x $ e $ y $ pode ser expressa por uma função $ y =v(x). $ Assim, $ z = u(y) = u(v(x)).$ Utilizando a Regra da Cadeia temos que

(147)
\[ \diff{z}{x} = \diff{z}{y} \diff{y}{x}. \]

Portanto, a taxa de variação de $z$ com relação a $ x$ é o produto entre a taxa de variação de $z$ com relação a $ y $ e da taxa de variação de $y $ com relação a $x.$

Exemplo 33.
Seja $A$ a área de um quadrado de lado $l$; Qual a relação entre as variações dos lados $\diff{l}{t} $ com a variação da área $\diff{A}{t}?$

Resolução.

Devemos considerar um quadrado de lado $l$, cufo lado varia com o tempo $l=l(t)$ e consequentemente a área também é função do tempo $A=A(t).$ Como $A=l^{2},$ derivando em relação a $t$ e usando a regra da cadeia temos

(148)
\[\diff{A}{t}=2l\diff{l}{t} \]

e, desta forma obtivemos uma relação entre a taxa de variação da área com a taxa de variação dos lados.

Exemplo 34.
Suponha que está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de $50cm^3/s.$ Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio é $ 5 cm$?

Resolução.

Seja $ r $ o raio e $ V $ o volume do balão no instante $t.$ Sabemos que a taxa de crescimento do volume é $ \diff{V}{t} = 50$ e queremos determinar a taxa de crescimento do raio, $\diff{r}{t} $ quando $ r = 5.$ Pela Regra da Cadeia,

(149)
\[ \diff{V}{t} = \diff{V}{r} \diff{r}{t}. \]

Lembrando que $ V = \dfrac{4 }{3}\pi r^3 \Longrightarrow\diff{V}{r} = 4 \pi r^2,$ logo

(150)
\[ \diff{V}{t} = 4 \pi r^2 \diff{r}{t} \quad \Longrightarrow \quad \diff{r}{t} = \dfrac{1}{4 \pi r^2} \diff{V}{t} . \]

Concluímos que para $ r = 5 ,\, \diff{r}{t}= \dfrac{1}{2\pi}.$

Exemplo 35.
Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2$m^3/min,$ encontre a taxa na qual o nível da água está elevando quando a água está a 3m de profundidade.

Resolução. Sejam $ V, \, r $ e $ h $ o volume da água, o raio da superfície e a altura no instante $t.$ Sabemos que $ \diff{V}{t} = 2 $ queremos achar $\diff{h}{t} $ quando $ h = 3.$ Temos que $ h $ e $V$ estão relacionadas pela equação: $ V= \dfrac{1}{3} \pi r^2 h.$ Por semelhança de triângulos $ \dfrac{r}{h} = \dfrac{2}{4} $ logo $r = h/2. $ Substituindo na expressão para $V,$ obtemos $ V =\dfrac{1}{3} \pi \dfrac{h}{2}^2 h = \dfrac{\pi}{12} h^3.$ Agora, derivando com relação a $t,$

(151)
\[ \diff{V}{t} = \dfrac{\pi h^2}{4} \diff{h}{t} \qquad \Longrightarrow \diff{h}{t} = \dfrac{4}{\pi h^2 } \diff{V}{t}. \]

Substituindo $ h = 3, \, \diff{V}{t} = 2, $ temos $ \diff{h}{t} = \dfrac{8}{9\pi.}$

Exemplo 36.

Um balanço consiste de uma placa na extremidade de uma corda de 10 metros de comprimento. Deixe o ponto $P$ representar o balanço no final da corda, e $ Q $ o ponto de fixação na outra extremidade. Suponha que o balanço está diretamente abaixo de $ Q $ quando $ t = 0 $, e está sendo puxado por alguém que anda a 6m / s da esquerda para a direita. Encontre:

  • o quão rápido o balanço está subindo após 1s;
  • a velocidade angular da corda em graus/s após 1s.

Resolução

Começamos perguntando: qual é a quantidade geométrica cuja taxa de variação conhecemos, e qual é a quantidade geométrica cuja taxa de mudança que estamos querendo determinar? Note que a pessoa que empurra o balanço está se movendo horizontalmente a uma taxa que conhecemos. Em outras palavras, sabemos que a coordenada horizontal de $ P $ está aumentando em 6 m/s.

Vamos começar fixando a origem em $P$ no tempo $t = 0$, ou seja , uma distância de 10 diretamente abaixo do ponto de fixação. A taxa que conhecemos é $ dx/dt $, e na parte

(a) a taxa que queremos é $ dy/dt $ (a taxa na qual o ponto $ P $ está subindo). E na parte

(b) a taxa que nós queremos é $ \dot{\theta} = d \theta /dt $, onde $ \theta$ significa o ângulo em radianos medido em relação à vertical. (Na verdade, uma vez que queremos que a nossa resposta em graus/s, no final temos de converter $ d \theta / dt $ de rad /s multiplicando por $ 180 / \pi $.)

pendulo

(a) A partir do diagrama vemos que temos um triângulo retângulo cujos lados são $ x $ e $ 10- y $, e cuja hipotenusa é 10. Portanto, $ \dis x ^ 2 + (10-y) ^ 2 = 100 $. Tomando a derivada de ambos os lados obtemos: $ 2x \dot{x} +2 (10 -y) (0- \dot{y}) = 0 $. Vamos agora olhar para o que conhecemos depois de 1 de segundo, ou seja , $ x = 6 $ (porque $ x $ começou em 0 e aumentou a a taxa de 6 m/s durante 1 segundo), $ y = 2 $ (porque nós temos $ 10- y = 8 $ do teorema de Pitágoras aplicada ao triângulo com hipotenusa 10 e lado 6), e $ \dis \dot {x} = 6 $.

Colocando esses valores temos $ 2 \cdot 6 \cdot 6-2 \cdot 8 \dot {y} = 0 $, a partir do qual podemos facilmente resolver obtendo $ \dis \dot{y} $: $ \dis \dot {y} = 4,5 $ m/s.

(b) Aqui nossas duas variáveis são de $ x $ e $ \theta $, assim que nós queremos usar o mesmo triângulo retângulo como na parte (a), mas desta vez vamos relacionar $ \theta $ com $ x $. Uma vez que a hipotenusa é constante (igual a 10), a melhor maneira de fazer isso é utilizando a função seno: $ \sin \theta = x / 10 $. Derivando, obtemos $ \dis (\cos \theta) \dot {\theta} = 0,1 \dot{x} $. No instante em questão ($ t = 1 $ s), quando temos um triângulo retângulo com lados 6–8–10, $ \dis \cos \theta = 8/10 $ e $ \dis \dot {x} = 6 $. Assim $ (8/10) \dot {\theta} = 6/10 $, ou seja , $ \dis \dot {\theta} = 6/8 = 3/4 $ rad / s, ou aproximadamente $ 43 $ graus/s.

Exemplo 37.
A energia cinética de um corpo é dado por $K=1/2mv^2$. Se o objeto está em queda livre e acelerando a $9.8m/s^2$, quão rápido a energia cinética está aumentando quando a velocidade for de $30m/s$?

Exemplo 38.
Um gás está numa câmara com uma parede flexível (de modo que a câmara pode expandir ou contrair). De acordo com os químicos, se mantivermos o gás a uma temperatura constante, enquanto aumentando ou diminuindo o tamanho da câmara, a pressão P e volume V satisfazem a relação PV = constante. (Estamos utilizando a lei do gás ideal $PV = nRT$, em que n e T não se alteram.) Um aspecto desta equação que é óbvio é que, quando o volume cresce/decresce quando a pressão decresce/cresce. Pergunta se diminuirmos o volume a um ritmo constante, qual será a taxa de aumento da pressão?

Derivadas das Funções Hiperbólicas

Definição 8.
As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por:

(152)
\[\sinh x = \dfrac {e^x - e^{-x}} {2} = \dfrac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \dfrac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}} \]

e

(153)
\[\cosh x = \dfrac {e^x + e^{-x}} {2} = \dfrac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \dfrac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}} \]

É fácil verificar a partir da definição acima que a função $\sinh$ é ímpar enquanto que a função $\cosh$ é par:

\[ \begin{aligned} \sinh (-x) &= -\sinh x \cosh (-x) &= \cosh x \end{aligned} \]

As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicos, são respectivamente definidas por:

(154)
\[\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} \]
(155)
\[\coth x = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} = \dfrac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} \]
(156)
\[\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \dfrac {2} {e^x + e^{-x}} \]
(157)
\[\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \dfrac {2} {e^x - e^{-x}} \]

Teorema 17.

(158)
\[\diff{}{x} \sinh x = \cosh x \]

Demonstração.

\[ \begin{aligned} \diff{}{x} \left({ \sinh x }\right) &= \diff{}{x} \left({\dfrac {e^x - e ^{-x} } 2}\right)\\ &= \frac {\diff{}{x} \left({e^x - e^{-x} }\right)} 2 \\ &= \frac {\diff{}{x} \left({e^x}\right) - \diff{}{x} \left({ e^{-x} }\right)} 2 \\ &= \frac {e^x - e^{-x} \left({-1}\right)} 2 \\ &= \frac {e^x + e ^{-x} } 2\\ &= \cosh x \end{aligned} \]

Teorema 18.

(159)
\[\diff{}{x} \cosh x = \sinh x \]

Demonstração.

\[ \begin{aligned} \left({ \cosh x }\right) &= \diff{}{x} \left({\dfrac {e^x + e ^{-x} } 2}\right)\\ &= \dfrac 1 2 \diff{}{x} \left({e^x + e^{-x} }\right)\\ &= \dfrac 1 2 \left({e^x + \left({- e^{-x} }\right) }\right)\\ &= \dfrac {e^x - e ^{-x} } 2\\ &= \sinh x \end{aligned} \]

Usando as regras de derivação podemos calcular as outras derivadas hiperbólicas.

Teorema 19.

(160)
\[\diff{}{x} \left({\tanh x}\right) = \operatorname{sech}^2 x \]
\[ \begin{aligned} \diff{}{x} \left({\tanh x}\right) &= \diff{}{x} \left({\dfrac {\sinh x} {\cosh x} }\right)\\ &= \dfrac {\left({\diff{}{x} \sinh x}\right) \cosh x - \sinh x \ \left({\diff{}{x} \cosh x}\right)}{\cosh^2 x}\\ &= \dfrac {\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}\\ &= \dfrac 1 {\cosh^2 x} \end{aligned} \]

Teorema [Derivadas das Funções Hiperbólicas].

  • $ \diff{}{x}\sinh x = \cosh x \, $

  • $ \diff{}{x}\cosh x = \sinh x \, $

  • $ \diff{}{x}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \, $

  • $ \diff{}{x}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \, $

  • $ \diff{}{x}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \, $

  • $ \diff{}{x}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \, $

Exemplo 39.
Calcule a derivada de $\tanh x^2$.

Resolução. Usando a Regra da Cadeia, temos:

(161)
\[\diff{}{x}\tanh x^2=\operatorname{sech}^2 (x^2) \cdot 2x \]

Teorema [Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas].

  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{arsinh}\,x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $
  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{arcosh}\,x =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} $
  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{artanh}\,x =\dfrac{1}{1-x^{2}} $
  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{arcoth}\,x =\dfrac{1}{1-x^{2}} $
  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{arsech}\,x =-\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} $
  • $ \diff{}{x}\, \operatorname{arccosec}\,x =-\dfrac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}} $

Demonstração a)

A função $x \in \bbR$

(162)
\[ y =\sinh^{-1} x \sse x= \sinh y \]

Derivando implicitamente

\[ \begin{aligned} \diff{x}{y} &= \cosh y\\ \diff{y}{x} &= \frac 1 {\cosh y}\\ &= \pm \frac 1 {\sqrt {\sinh^2 y + 1} }\\ &= \frac 1 {\sqrt {x^2 + 1} } \end{aligned} \]

Acima usamos que para todo $x \in \bbR$ temos que $\cosh y \ge 1$. E assim $\cosh y =\sqrt {\sinh^2 y + 1}$.

d)

(163)
\[y= \coth^{-1} x \sse x \coth y \]
\[ \begin{aligned} \diff{x}{y} & = -\operatorname{csch}^2 y\\ \diff{y}{x} & = \frac {-1} {\operatorname{csch}^2 y}\\ & =\frac {-1} {\coth^2 y - 1}\\ & = \frac {-1} {x^2 - 1} \end{aligned} \]

Derivadas de Ordem Superior

Seja $f$ uma função diferenciável em $A$. A função $f':A\rightarrow\bbR$ ou simplesmente $f'$ é dita {\bf derivada} de $f$ ou derivada primeira de $f$.

De modo análogo, podemos definir a derivada de $f'$ que será chamada derivada segunda de $f$. Neste caso,

(164)
\[ (f')'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f'(x+h)-f'(x)}{h} \]

e escrevemos $f''= (f')^{'}$, quando o limite existir. Também podemos escrever

(165)
\[ f^{(2)}:= f'' . \]

A derivada terceira de $f$ é a derivada da derivada segunda da $f$, escreveremos

(166)
\[ f^{(3)} \ \ \ \mbox{ou} \ \ \ f''' \]

Para $n \in \bbN^*$, a derivada n-ésima de $f$ será denotada por $ f^{(n)}$ quando esta existir.

Alternativamente, podemos escrever

\[\diff[2]{f}{x} = \diff{}{x}\,\left(\diff{y}{x}\right) \ \ \ \ \textrm{ou} \ \ \ \ \diff[2]{f}{x} = \diff{}{x}\,\left(\diff{f}{x}\right) \]

para denotar a derivada segunda, $f''$, de $y=f(x)$. Analogamente, usamos

\[\diff[3]{f}{x} \ \ \ \ \textrm{ou} \ \ \ \ \diff[3]{f}{x} \]

para denotar a derivada de terceira, $f'''$, de $y=f(x)$, e assim por diante.

Exemplo 40.
Calcule as $4$ primeiras derivadas de

\[f(x) = x^3 + 2 x^2 + x -3/x \]

Resolução. Como $f(x) = x^3 + 2 x^2 + x -3/x$,

(167)
\[f'(x)=3 x^2+4x+1+\dfrac{3}{x^2} \]
(168)
\[f''(x)= 6 x+4 - \dfrac{6}{x^3} \]
(169)
\[f'''(x)=6 + \dfrac{18}{x^4} \]
(170)
\[f''''(x)=-\dfrac{72}{x^5} \]

Exemplo 41.
Se $f(x) = \sin(x) + e^x + 1$. Logo,

(171)
\[\diff[2]{f}{x} = -\cos(x) + e^x . \]

Exemplo 42.
Calcule $\sen^{(98)}x$

Resolução. Começaremos calculando as primeiras derivadas:

\[ \begin{aligned} \sen'x&=\cos x\\ \sen''x&= -\sen x\\ \sen'''x&= -\cos x\\ \sen^{(4)}x&= \sen x \end{aligned} \]

Ou seja , a derivada de ordem 4 de $\sen x$ é $\sen(x)$.

Exemplo 43.
Mostre que se $f(x)=\dfrac{1}{x}$ então $f^{(n)}(x) = \dfrac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}.$

Exemplo 44.
A posição de uma partícula é dada pela equação $ s(t) = 5t^3 - 6 t^2 + 9 t.$ Encontre a velocidade e a aceleração no instante $t=2$.

Resolução. A velocidade é dada por:

(172)
\[v(t)=s'(t)=15t^2-12t+9 \]

e a aceleração

(173)
\[a(t)=s''(t)=30t-12 \]

No instante $t=2s$ temos:

(174)
\[v(2)=60-24+9=45 \]
(175)
\[a(2)=48 \]

Aproximações Lineares e Diferencial

As vezes precisamos de uma estimativa rápida e simples da variação em $f(x)$ provocada por uma variação em $x$.

Isto é gostaríamos de calcular o incremento

(176)
\[\Delta y:=f(x+\Delta x)-f(x) \]

provocado pelo incremento na variável $x+\Delta x$.

differencial3

Para esse fim utilizaremos o fato geométrico que uma curva se aproxima de sua reta tangente na vizinhança do ponto de tangência. Assim, para aproximar uma função $ y = f(x) $ quando $ x$ está próximo de $ p ,$ usamos a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(p,f(p)),$ cuja equação é

(177)
\[ y = f(p) + f'(p) (x-p) \]

e assim temos a aproximação

(178)
\[ f(x) \approx f(p) + f'(p) (x-p) \]

denominada aproximação linear de $f$ em $p.$ A função linear $L(x) = f(p) + f'(p) (x-p)$ é chamada de linearização de $ m $ em $ p .$

Exemplo 45.
Aproxime $\sqrt{3,95} $ e $ \sqrt{4,02} $ utilizando a aproximação linear da função $ f(x) = \sqrt{x}.$

Resolução. Começaremos determinando a equação da reta tangente em $ p =4.$ como $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $, a equação da reta tangente é dada por

(179)
\[ L(x) = f(4) + f'(4) (x-4) = 2 + \dfrac{1}{4} (x-4). \]

Agora,

(180)
\[ \sqrt{3,95} \approx L(3,95) = 1.9875 \quad \mbox { e } \quad \sqrt{4,02} \approx L(4,02) =2.005 . \]

Utilizando uma calculadora temos que $\sqrt{3,95}\approx 1.98746$ e $\sqrt{4,02}\approx 2.00499$

A notação de incremento pode ser usada na definição da derivada de uma função.

(181)
\[ f'(x)=\lim_{\Delta \to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta \to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

Desse modo, temos que

(182)
\[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx f'(x) \quad\text{ se } \quad \Delta x \approx 0. \]

Podemos rescrever a expressão anterior como:

(183)
\[ \Delta y \approx f'(x)\Delta x \quad \text{ se } \quad\Delta x \approx 0. \]

Definição 9.
Seja $y=f(x)$ uma função diferenciável e deixe $\Delta x$ ser o incremento de x.

  • A diferencial $\dx$ da variável independente é definida como $\dx=\Delta x$
  • A diferencial $\dy$ da da variável independente é definida como
(184)
\[ \dy = f'(x)\Delta x =f'(x)\dx \]

differencial3

Figura 1. Aproximação Linear de $f(x)$

Para interpretar geometricamente a diferencial, considere a Figura 1.

Seja $ dx = \Delta x $ a variação em $ x $ e $ \Delta y =f(x+dx) - f(x) $ a variação em $y.$ Sabemos que $f'(x)$ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x,f(x)).$ Portanto $dy $ representa a variação da reta tangente, enquanto $ \Delta y$ representa a variação da função $ y = f(x) $ quando $ x$ varia por uma quantidade $ dx.$

Quando $\dx$ for suficientemente pequeno, $\dy$ irá se aproximar de $\Delta y = f(x+\dx) - f(x)$ no seguinte sentido

\[\dfrac{\Delta y- \dy}{\dx}\ \longrightarrow \ 0, \quad \text{ quando }\quad \dx\to 0. \]

Este fato implica que o erro cometido ao aproximarmos $\Delta y$ por $dy$ é pequeno quando comparado a $\dx$. Portanto

(185)
\[\Delta y\approx \dy \]

para $dx$ suficientemente pequeno.

Finalmente a aproximação linear pode ser escrita na notação de diferenciais como

(186)
\[ f(p + \dx ) \approx f(p) + \dy . \]

Exemplo 46.
Uma tigela tem o formato de uma semiesfera de raio $10$cm e é preenchida com água até a altura de $x$ cm. O volume de água na esfera é dado por

(187)
\[V=\dfrac{\pi}{3}(30x^2-x^3) \]

Suponha que você meça a altura da água como $5$cm com um erro máximo de $0,1$cm. Estime o erro máximo no volume calculado de água na tigela.

semiesfera

Resolução. Deixe $x^*$ denotar a altura real da água. Queremos calcular a diferença $\Delta V= V(x^*)-V(5)$ entre o volume real $V(x^*)$

Não conhecemos o valor real de $x^*$ mas conhecemos que $\Delta x=x-5$ satisfaz $\abs{\Delta x}<0,1$.

Também conhecemos que $V'(x)=\dfrac{\pi}{3}(60x-3x^3)=\pi (20x-x^2)$. Logo usando aproximação linear temos que:

(188)
\[\Delta V\approx dV=V'(5)\Delta x \]

temos $\Delta V \approx 75\pi \Delta x$ e assim

(189)
\[\Delta V \approx \pm 23,56 \]

Assim o volume calculado com $x=5$ é $V(5) \approx 654cm^3$, com erro de $\pm 23,56$.

Exemplo 47.
O raio de uma esfera tem 21 cm, com um erro de medida possível de no máximo 0,05 cm. Qual é o erro máximo cometido ao usar esse valor de raio para computar o volume da esfera?

esferaerro

Se o raio da esfera for $r,$ então seu volume é $V =\dfrac{4}{3}\pi\,r^3.$ Denotamos o erro na medida do raio por $ dr =\Delta r .$ O erro correspondente no cálculo do volume é $\Delta V $ que pode ser aproximado pela diferencial $ dV = 4 \pi r^2 dr.$ Quando $ r = 21 $ e $ dr = 0,05 $, temos $ dV = 4 \pi 21^20,05\approx 277.$ Logo o erro máximo no volume calculado será de aproximadamente $277 cm^3.$

Exemplo 48.
a) Utilizando aproximação linear encontre uma fórmula aproximada para o volume de uma casca cilíndrica de altura $h$, raio interno $r$ e grossura $t$.

b) Qual o erro envolvido ao usar essa fórmula?

Resolução

a) Queremos determinar o volume contido entre o cilindro de raio $r$ e o cilindro externo de raio $r+\Delta r$. O volume do cilindro interno é dado por

(190)
\[V=\pi r^2 h \]

Se aumentarmos o raio $r$ por um incremento de $\Delta r$, então o volume da casca é dado por $\Delta V$.

Usando aproximação linear:

(191)
\[\Delta V \approx 2\pi r h \Delta r \]

e logo

(192)
\[\Delta V \approx 2\pi r h \Delta r \]

b) O volume exato da casca cilíndrica é dado por:

(193)
\[\Delta V = \pi(r+\Delta r)^2h-\pi r^2 h \]

que simplificando fica

(194)
\[\Delta V = 2\pi r h \Delta r + \pi h (\Delta r)^2 \]

Fazendo a diferença entre as duas fórmulas do volume temos que o erro $E$ é dado por:

(195)
\[E=\pi h (\Delta r)^2 \]

E logo temos que o erro é pequeno se $\Delta r$ for suficientemente pequeno.

Apêncice: Identidades

Identidade da Soma e Produto

Teorema 22.

\[\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left({\dfrac {\alpha + \beta} 2}\right) \sin \left({\dfrac {\alpha - \beta} 2}\right) \]
\[ \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \]
\[ \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \]

Subtraindo as equações anteriores temos

\[\displaystyle \sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \sin \beta \]

Fazendo $ \alpha +\beta =\theta $ e $ \alpha -\beta =\phi$

\[ \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}} \]

e

\[ \beta ={\frac {\theta -\phi }{2}} \]

Substituindo $\theta$ e $ \phi$

\[ \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right) \]
\[\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right) \]

Assim

\[\sin \theta - \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta - \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta + \phi }{2}}\right) \]

Referências

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