Integrais

Parte I

Daniel Miranda
UFABC
Cristian Colleti
UFABC
Armando Caputi
UFABC

Sumário

Introdução

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Versão: 2016-12-04

Integração

“Nature laughs at the difficulties of integration.” — Pierre-Simon Laplace

Antiderivadas e Integral Indefinida

Uma parte significativa dos capítulos anteriores foi dedicado ao problema de encontrar a derivada de uma função $f(x) $. Neste seção abordamos o problema inverso: dada uma função $f(x) $ achar uma função $F(x) $ que satisfaça

(1)
\[F'(x) = f(x). \]

A equação (1) é um exemplo de equação diferencial.

Simplificadamente uma equação diferencial é uma equação envolvendo $ y $, $ x $, e as derivadas de $ y $.

Um exemplo de uma equação diferencial simples a forma da equação (1) é: $ y'= 2x $.

A equação anterior possui ao menos uma solução: $ y = x ^ 2 $.

Claramente podemos encontrar outra solução: $ y = x ^ 2 + C $, onde $C $ é uma constante,também é solução.

Definição 1.
Uma função $F $ definida num intervalo $I $ é denominada uma primitiva ou antiderivada de $f $ se

(2)
\[F^{\prime}(x) = f(x) \]

para todo $x \in I $.

O conjunto de todas as primitivas de $ f (x) $ é denominado integral indefinida de $ f $, e será denotado por

\[\dint f (x) \dx. \]
  • Se $F $ for uma primitiva de $f $, então por definição a função $F $ é derivável e logo contínua.

  • Conhecendo uma antiderivada de $ f $ podemos encontrar outras simplesmente adicionando uma constante.

  • O próximo teorema nos diz que no caso em que a função é diferenciável essa é o modo de obter todas as antiderivadas.

Teorema 1.
Sejam $f $ e $g $ funções continuas no intervalo fechado $[a,b] $ e diferenciáveis no intervalo aberto $(a,b) $ tal que $f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) $ para todo $x \in (a,b) $. Então, existe $C \in \mathbb{R} $ tal que

(3)
\[f(x) = g(x) + C \]

para todo $x \in [a,b] $.

Demonstração. Considere a função $F(x)=f(x)-g(x) $. Então $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0 $ para todo $x $ em $(a,b) $. E logo $f-g $ é constante. Ou seja, existe $C $ tal que $f(x)-g(x)=C $ e assim

(4)
\[f(x) = g(x) + C \]

Usando a Definição 1, podemos dizer que se $f $ é contínua no intervalo fechado $[a,b] $ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b) $então

(5)
\[ \dint f(x) \dx = F(x) + C. \]

Exemplo 1.

(6)
\[\int x^2 \dx= \frac{x^3}{3}+C \]

Regras Básicas de Integração

Como o processo de integração e derivação são, em certo sentido, operações inversas, podemos descobrir diversas integrais indefinidas, conjecturando uma antiderivada $F $ de $f $ e, em seguida, verificando que $F $ é realmente uma antiderivada de $f $, isto é, demonstrando que $F'(x)= F (x) $.

Proposição.

(7)
\[\dint x^{n} \dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad n\neq -1 \]

Demonstração Levando em consideração que a regra de derivação de potências consiste em:

  • Diminuir a potência de $x^n $ por 1 obtendo $x^{n-1} $.

  • Multiplicar $x^{n-1} $ pela potência inicial $n $ obtendo $nx^{n-1} $.

    Revertendo o processo passo a passo temos que:

  • Aumentar a potência de $x^n $ por 1 obtendo $x^{n+1} $.

  • Dividir $x^{n+1} $ pela potência final $n+1 $ obtendo $nx^{n-1} $.

Esse argumento sugere que

(8)
\[\dint x^{n} \dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad n\neq -1 \]

De fato, verificando

\[ \begin{aligned} \diff{}{x}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\right]=\dfrac{n+1}{n+1}x^{n+1-1}=x^n \end{aligned} \]

Proposição. [Tabela de Integrais Indefinidas]

  • $\displaystyle \dint x^n \dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

  • $\displaystyle \dint \dfrac{1}{x} \dx = \ln \left|x\right| + C $.

  • $\displaystyle \dint \sin x \dx = -\cos x + C $.

  • $\displaystyle \dint \cos x \dx = \sin x + C $.

  • $\displaystyle \dint \sec^2 x \dx = \tan x + C $.

Proposição. [Tabela de Integrais Indefinidas]

  • $\displaystyle \dint \tan x\dx =-\ln\left|\cos x\right|+ C $.

  • $\displaystyle \dint e^x\dx = e^x + C $.

  • $\displaystyle \dint a^x \dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C $.

  • $\displaystyle \dint \ \cotan \ x \dx = \ln\left|\sin x \right|+ C $.

  • $\displaystyle \dint \dfrac{1}{1+x^2} \dx = \arctan x + C $.

Das propriedades da derivada, temos a seguintes propriedades da integral indefinida.

Teorema 2.
A integral indefinida é linear, isto é:

  • $\displaystyle \dint \left(f_1(x)+f_2(x)\right) \dx = \displaystyle \dint f_1(x) \dx + \displaystyle \dint f_2(x) \dx. $
  • $\displaystyle \dint a f(x) \dx = a \displaystyle \dint f(x) \dx. $

Exercício. Calcule a antiderivada de $f(x)=3x^4-\sin x+6\dfrac{1}{\sqrt{2x}} $.

Resolução. Utilizando a linearidade da integral indefinida

\[ \begin{aligned} \displaystyle \dint 3x^4-\sin x+6\dfrac{1}{\sqrt{4x}} \dx &= \displaystyle \dint 3x^4 \dx-\displaystyle \dint \sin x \dx\\ &+6\displaystyle \dint\dfrac{1}{\sqrt{4x}}\dx \nonumber \\ &= \dfrac{3}{5} x^5 + \left(\cos x\right)+ \dfrac{6\cdot2}{4} \sqrt{4x} + C \nonumber \\ &= \dfrac{3}{5} x^5 +\cos x + 3 \sqrt{4x} + C. \nonumber \end{aligned} \]

Teorema 3.
Se $\displaystyle \dint f(x) \dx = F(x) + C $, então

(9)
\[\displaystyle \dint f(ax+b) \dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b) + C. \nonumber \]

Essa Proposição pode ser facilmente verificada calculando a derivada da expressão do lado direito na equação acima.

\[ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{a} F(ax+b) + C\right)^{\prime} &= \dfrac{1}{a} F^{\prime}(ax+b) \left(ax+b\right)^{\prime} \nonumber \\ &= \dfrac{1}{a} f(ax+b) a \nonumber \\ &= f(ax+b). \nonumber \end{aligned} \]

Exercício. Calcule a antiderivada de $f(x)=\dfrac{1}{x+1} $.

Resolução. Utilizando o Teorema 3 temos:

(10)
\[\displaystyle \dint \dfrac{1}{x+1} \dx = \ln\left(|x+1|\right)+ C \nonumber \]

Exercício. Calcule a antiderivada de $f(x)=\cos(2x+1) $.

Resolução. Utilizando o Teorema 3 temos:

(11)
\[\displaystyle \dint \cos(2x+1) \dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x+1) + C \nonumber \]

Integração por Substituição

Assuma que $F(x) $ seja uma antiderivada de $f(x) $ e que $g(x) $ seja uma função diferenciável.

Logo, $F(g(x)) $ é uma antiderivada de $f(g(x)) g^{\prime}(x) $ já que

\[ \begin{aligned} \left(F(g(x))\right)^{\prime} &= F^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \nonumber &= f(g(x)) g^{\prime}(x). \nonumber \end{aligned} \]

Desta forma, se denotarmos $\displaystyle \dint f(x) \dx = F(x)+C $, então

\[\displaystyle \dint f(g(x)) g^{\prime}(x) \dx = F(g(x))+C. \]

Escrevendo $u=g(x) $ e observando que $\displaystyle \dint f(u) \du = F\left(u\right) $ temos que

(12)
\[\displaystyle \dint f(g(x)) g^{\prime}(x) \dx = \displaystyle \dint f(u) \du. \nonumber \]

A fórmula acima é conhecida como método de Substituição.

Teorema [Método de Substituição] .
Se $f $é uma função cuja antiderivada é $F $ e $g $ for uma função diferenciável, então

(13)
\[\displaystyle \dint f(g(x)) g^{\prime}(x) \dx = \displaystyle \dint f(u) \du, \nonumber \]

onde $u = g(x). $

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\dint x\sin(x^2+5)\dx $.

Resolucão Sabendo que a técnica de substituição está intrinsecamente relacionada com a regra da cadeia, escolhemos $ u $ como a “função”de dentro de $ \sin (x ^ 2 + 5) $. (Ressaltamos que esta não é sempre uma boa escolha, mas em geral é a melhor primeira tentativa .)

Fazendo $u = x^2+5 $, temos $du = 2x\dx $. O integrando possui um termo $x\dx $ mas não um termo da forma $2x\dx $. Logo dividimos ambos os lados da expressão por 2:

\[ du = 2x\dx \quad \Rightarrow \quad \frac12du = x\dx. \]

Agora substituímos

\[ \begin{aligned}\dint x\sin(x^2+5)\dx &= \dint \sin(\underbrace{x^2+5}_{\color{azul}u}) \underbrace{x\dx}_{\color{azul}\frac12du}\\ &= \dint \frac12\sin u\du\\ &= -\frac12\cos u + C \quad \comentario{ (trocando $u $ por $x^2+5 $)}\\ &=-\frac12\cos(x^2+5) + C. \end{aligned} \]

Logo $\dint x\sin(x^2+5)\dx = -\frac12\cos(x^2+5)+C $. Podemos verificar a resolução, calculando a derivada do lado direito.

Integração por Substituição

[Passo 1] Escolha $u=g(x) $, geralmente, a “função de dentro” da função do composta $f(g(x)) $.

[Passo 2] Calcule $\du= g'(x) \dx $.

[Passo 3] Use a substituição $u=g(x) $ e $\du= g'(x) \dx $ para transformar o integral em um que envolve apenas u: $\dint f (u) \du $.

[Passo 4] Calcule a integral resultante.

[Passo 5]Substitua $u $ por $g(x) $, de modo que a expressar a solução final só em termos de x.

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\dint x\sqrt{x+3}\dx $.

Nesse caso, após reconhecer a função composta, escolhemos $u = x+3 $. E dessa forma $du = dx $, fornecendo uma substituição simples. Obtemos então:

\[\dint x \sqrt {x + 3} \dx = \dint x \sqrt{u} \du. \]

Não podemos calcular uma integral que envolva simultaneamente as variáveis $ x $ e um $ u $.

Precisamos converter o $ x $ de uma expressão envolvendo apenas $u $.

Como $u = x+3 $, temos $u-3 = x $. Trocando $x $ in por $u-3 $. e reescrevendo $\sqrt{u} $ como $u^\frac12 $.

\[ \begin{aligned} \dint x\sqrt{x+3} \dx &= \dint (u-3)u^\frac12\du \\ &= \dint \big(u^\frac32 - 3u^\frac12\big) \du \\ &= \frac25u^\frac52 - 2u^\frac32 + C \\ &= \frac25(x+3)^\frac52 - 2(x+3)^\frac32 + C. \end{aligned} \]

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\displaystyle \dint \left(2x+2\right) e^{x^2+2x+1} \dx. $

Resolução. Após reconhecer a composição, escolhemos $u=x^2+2x+1 $. Logo, $\diff{u}{x} = 2x+2 $. Pelo método de substituição, concluímos que

(14)
\[\displaystyle \dint \left(2x+2\right) e^{x^2+2x+1} \dx = \displaystyle \dint e^u\du = e^u + C = e^{x^2+2x+1} + C. \nonumber \]

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\displaystyle \dint 15x^2 \sqrt[5]{5x^3+7} \dx. $

Resolução. Fazendo a substituição $u=5x^3+7 $, $\diff{u}{x}=15x^2 $ temos:

(15)
\[\displaystyle \dint 15x^2 \sqrt[5]{5x^3+7} \dx = \displaystyle \dint \sqrt[5][u]\du = \dfrac{5 u^{6/5}}{6} + C \]
(16)
\[= \dfrac{5 (5x^3+7)^{6/5}}{6} + C. \]

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $ \dint x^2 \sqrt{x+1} \dx $.

Resolução.

Fazendo a substituição $ u = x+1 , $ temos $ x = u -1 $ e $ \du = \dx . $ Então,

\[ \begin{aligned} \dint x^2 \sqrt{x+1} \dx&= \dint (u-1)^2 \sqrt{u} \du\\ &= \dint (u^2 -2u + 1) u^{1/2} \du\\ &= \dint \left( u^{5/2} - 2 u^{3/2} + u^{1/2}\right) \du\\ &= \dfrac{2}{7} u^{7/2} -2 \dfrac{2}{5} u^{5/2} + \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C\\ &= \dfrac{2}{7} (x+1)^{7/2} - \dfrac{4}{5} (x+1)^{5/2} \\ &+ \dfrac{2}{3} (x+1)^{3/2} + C. \end{aligned} \]

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\displaystyle \dint \sqrt{\sin x} \cos x \dx. $

Resolução. Fazendo a substituição $t=\sin x $, $\diff{x}{t} = \cos x $ e assim temos que

\[ \begin{aligned} \displaystyle \dint \sqrt{\sin x} \cos x \dx &= \displaystyle \dint \sqrt{t} \dt \nonumber \\ &= \dfrac{2}{3} t^{3/2} + C \nonumber \\ &= \dfrac{2}{3} \sin^{3/2}(x) + C \nonumber \end{aligned} \]

Exercício. [Integração por Substituição]

Calcule $\displaystyle \dint \dfrac{x}{1+x^2} \dx. $

Resolução. Observe que $\left(1+x^2\right)^{\prime} = 2x $. Utilize a substituição $t=1+x^2 $. Logo, $\diff{x}{t} = 2x $ e temos que

\[ \begin{aligned} \displaystyle \dint \dfrac{x}{1+x^2} \dx &= \dfrac{1}{2} \displaystyle \dint \dfrac{1}{t} \dt \nonumber \\ &= \dfrac{1}{2} \ln(t) + C \nonumber \\ &= \dfrac{1}{2} \ln\left(1+x^2\right) + C \nonumber \end{aligned} \]

Integrais Trigonométricas

Nessa seção utilizaremos a técnica de integração por substituição para calcularmos integrais envolvendo funções trigonométricas. Essa estratégia será detalhada e generalizada em seções posteriores.

Exercício. Calcule $\displaystyle \dint \sin^3(x) \dx. $

Resolução. Observe que $\sin^3(x) = \sin^2(x) \sin x = \left(1 - \cos^2(x)\right) \sin x $. Utilize a substituição $t=\cos x $. Logo, $\diff{t}{x} = -\sin x $ e temos que

\[ \begin{aligned} \displaystyle \dint \sin^3(x) \dx &= \displaystyle \dint \left(1 - \cos^2(x)\right) \sin x \dx \nonumber \\ &= - \displaystyle \dint \left(1 - t^2 \right) \dt \nonumber \\ &= t - \left(\dfrac{1}{3} t^3 \right) + C \nonumber \\ &= -\left(\cos x - \dfrac{1}{3} \cos^3(x)\right) + C \nonumber \\ &= \dfrac{1}{3} \cos^3(x) - \cos x + C. \nonumber \end{aligned} \]

Exercício. Calcule $\displaystyle \dint \tan x \dx. $

Resolução.

Como $\tan x = \dfrac{\sen x}{\cos x} $, tome $u= \cos x $, $du= -\sen x\dx $. Assim $\dint \tan x\dx=\dint \dfrac{\sen x}{\cos x}\dx=\dint -\dfrac{du}{u}=-\ln|u| $ $= -\ln |\cos x|= \ln|(\cos x)^{-1}|= \ln|\sec x|. $

Exercício. Calcule $\displaystyle \dint \sec x \dx. $

Resolução.

Para calcularmos essa integral utilizaremos um truque. Multiplicando em cima e embaixo por $\sec x + \tan x $ temos:

(17)
\[\dint \sec x\dx = \dint \dfrac{\sec^2 x + \sec x\tan x} {\sec x + \tan x} \dx. \]

Fazendo a substituição $u=\sec x + \tan x $ e $du= (\sec^2 x + \sec x\tan x)\dx $. Temos

(18)
\[\dint \sec x\dx = \dint \dfrac{du}{u}= \ln |u| = \ln|\sec x + \tan x|. \]

Proposição. [Integrais das funções Trigonométricas]

  • $\displaystyle \dint \tan u \du=\ln|\sec u|+C $
  • $\displaystyle \dint \cotan u \du=\ln|\sin u|+C $
  • $\displaystyle \dint \sec u \du=\ln|\sec u +\tan u|+C $
  • $\displaystyle \dint \cossec u \du=\ln|\cossec u -\cotan u|+C $

Proposição. [Integrais Envolvendo as FunçõesTrigonométricas Inversas]

  • $\displaystyle \dint \dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} \du= \arcsin u +C $
  • $\displaystyle \dint \dfrac{1}{1+u^2} \du= \arctan u +C $
  • $\displaystyle \dint \dfrac{1}{\abs{u}\sqrt{1-u^2}} \du= \arcsec \abs{u} +C $

Integração por Partes

A partir da Regra do Produto para derivação obtemos uma técnica de integração denominada de integração por partes.

Sejam $f,g:[a,b]\rightarrow\bbR $funções diferenciáveis em $(a,b) $. Então, para cada $x\in(a,b) $, temos que

(19)
\[ [f(x) g(x)]'= f'(x) g(x) + f(x) g'(x), \]

ou equivalentemente

(20)
\[ f(x) g'(x)= [f(x) g(x)]' - f'(x) g(x)\,. \]

Como $f(x) g(x) $ é uma antiderivadade $[f(x) g(x)]' $, se existir uma antiderivada de $f'(x)g(x) $, então também existirá uma antiderivada de $f(x)g'(x) $ e valerá a fórmula de integração por partes:

(21)
\[\dint f(x) g'(x)\dx = f(x) g(x) - \dint f'(x) g(x)\dx \]

Teorema 5.
Sejam $f,g:[a,b]\rightarrow\bbR $ diferenciáveis em $(a,b) $.Se existir uma antiderivada de $f'(x)g(x) $, então também existirá uma antiderivada de $f(x)g'(x) $ e valerá a fórmula de integração por partes:

(22)
\[\dint f(x) g'(x)\dx = f(x) g(x) - \dint f'(x) g(x)\dx \]

Notação. Se denotarmos $u=f(x) $ ,e , $v=g(x) $,, temos

(23)
\[\du = f'(x)\dx \ \mbox{ e } \ \ \\dv=g'(x)\dx \]

e podemos reescrever a Equação (22) como

(24)
\[\dint u\dv = uv - \dint v\du \]

Exemplo 2.
[Integração por Partes]

Calcule $\dint x\cos{x}\dx $.

A chave para a integração por partes é identificar parte do integrando como “ $ u $ ‘’ e parte como ” $ \dv $. "

A prática facilitará boas identificações. A seguir vamos apresentar alguns princípios que ajudam nessa escolha.

Nesse exemplo escolheremos $ u = x $ pois a sua derivada é uma constante (e assim esperamos que a integral no lado direito seja mais simples) e consequentemente escolhemos $ \dv = \cos x \dx $.


Em geral, é útil para fazer uma pequena tabela de valores como feito abaixo. Inicialmente só conhecemos $ u $ e $ \dv $ como mostrado no lado esquerdo.

Na direita, preenchemos com os valores restantes que precisamos. Se $ u = x $, então $ \du = \dx $. Como $ \dv = \cos x \dx $, $ v $ é uma antiderivada de $ \cos x $.

Logo podemos escolher $ v = \sin x $

\[ \begin{aligned} u&= x & v&=\text{?}\\ \du&= \text{?} & \dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= x & v&=\sin x\\ \du&= dx & \dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]

Fazendo as substituições na integral por partes temos

\[ \dint x\cos x\dx = x\sin x - \dint \sin x \dx. \]

Integrando $\sin x $ temos $-\cos x + C $e assim

\[ \dint x\cos x\dx = x\sin x + \cos x + C. \]

O exemplo anterior demonstra como a integração por partes funciona de modo geral. Tentamos identificar $ u $ e $ \dv $ na integral dada, e o ponto crucial é que, geralmente, queremos escolher $ u $ e $ \dv $ para que $ \du $ seja mais simples do que $ u $ e esperamos que $ v $ não seja muito mais complicado do que $\dv $. Isto significa que a integral no lado direito da Integração pela fórmula Partes, $ \dint v \du $ será mais simples que o integrando original $ \dint u \dv $.

No exemplo anterior nós escolhemos $ u = x $ e $ \dv = \cos x \dx $. Então $ \du = \dx $ era mais simples do que $ u $ e $ v = \sin x $ não é mais complicado do que $ \dv $.

Portanto, em vez de integrar $ x \cos x \dx $, poderíamos integrar $ \sin x \dx $, o que sabemos fazer.

Exercício. [Integração por Partes]

Calcule $\displaystyle \dint x e^x\dx $.

Resolução. Fazemos $u=x $ e $\dv=e^x\dx $.Logo $\du=\dx $ e $v=e^x. $

\[ \begin{aligned} u&= x & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=e^x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= x & v&=e^x\\ du&= dx & dv&=e^x\dx \end{aligned} \]

Logo utilizando integração por partestemos

\[ \dint x e^x\dx = xe^x - \dint e^x\dx. \]
\[ \dint xe^x\dx = xe^x - e^x + C. \]

Exercício. [Integração por Partes]

Calcule $\displaystyle \dint x^2\cos x \dx $.

Faremos $u=x^2 $ e logo $dv=\cos x\dx $.Assim $du=2x\dx $ e $v=\sin x $ como mostrado abaixo.

\[ \begin{aligned} u&= x^2 & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= x^2 & v&=\sin x\\ du&= 2x\dx & dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]

A fórmula de integração por partes fornece então:

\[ \dint x^2\cos x\dx = x^2\sin x - \dint 2x\sin x\dx. \]

Neste ponto, podemos constatar que a integral à direita é realmente mais simples do que a integral com a qual começamos, mas para calculá-la, precisaremos fazer novamente uma integração por partes. Agora escolhemos $ u = 2x $ e $\dv = \sin x $

\[ \begin{aligned} u&= 2x & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=\sin x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= 2x & v&=-\cos x\\ du&= 2\dx & dv&=\sin x\dx \end{aligned} \]
\[ \dint x^2\cos x\dx = x^2\sin x - \left(-2x\cos x - \dint -2\cos x\dx\right). \]

E logo

\[ \dint x^2\cos x\dx = x^2\sin x+ 2x\cos x - 2\sin x + C. \]

Exercício. [Integração por Partes]

Calcule $\displaystyle \dint e^x\cos x \dx $.

Essa é uma integral clássica.Faremos $u $ $u=e^x $ e $\dv = \cos x\dx $. Então $\du=e^x\dx $ e $v=\sin x $:

\[ \begin{aligned} u&= e^x & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= e^x& v&=\sin x\\ du&= e^x\dx & dv&=\cos x\dx \end{aligned} \]

Observe que $\du $ não é mais simples que $u $, o que vai contra o nosso princípio geral (mas confie). A integração por partes resulta em

\[ \dint e^x\cos x\dx = e^x\sin x - \dint e^x\sin x\dx. \]

A integral à direita não é muito diferente da inicial, então parece que chegamos a lugar nenhum. Mas vamos continuar e aplicar a integração por partes para o novo integrante, usando $ u = e ^ x $ e $ \dv = \sin x \dx $. Assim:

\[ \begin{aligned} u&= e^x & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=\sin x\dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= e^x& v&=-\cos x\\ du&= e^x\dx & dv&=\sin x\dx \end{aligned} \]

Logo

\[ \begin{aligned} \dint e^x\cos x\dx &= e^x\sin x - \left(-e^x\cos x - \dint -e^x\cos x\dx\right)\\ &= e^x\sin x+ e^x\cos x - \dint e^x\cos x\dx. \end{aligned} \]

Parece que estamos de volta exatamente a onde começamos, pois o lado direito contém $ \dint e ^ x \cos x \dx $. Mas este fato é positivo.

Adicionando $\dint e^x\cos x\dx $ a ambos os lados, temos:

\[ \begin{aligned} 2\dint e^x\cos x\dx & = e^x\sin x + e^x\cos x \\ \dint e^x\cos x\dx & = \frac{1}{2}\big(e^x\sin x + e^x\cos x\big). \end{aligned} \]

Finalmente, simplificando temos

\[ \dint e^x\cos x\dx = \frac12e^x\left(\sin x + \cos x\right)+C. \]

Exercício. [Integração por Partes]

Calcule $\displaystyle \dint \ln x\dx $.

Até esse ponto, já obtivemos as integrais das funções trigonométricas familiares e da função exponencial $ e^x $, mas ainda não determinamos a integral de $ \ln x $. Isso porque a função $ \ln x $ não podia ser facilmente integrada com nenhuma das regras apresentadas até este ponto.

Mas podemos encontrar sua antiderivada por uma aplicação inteligente de integração por partes.

Faça $ u = \ln x $ e $ \dv = \dx $. Este é um bom e sorrateiro truque, que pode ser útil em outras situações. Assim $ \du =(1 / x) \dx $ e $ v =x $ , como apresentamos abaixo.

\[ \begin{aligned} u&= \ln x & v&=\text{?}\\ du&= \text{?} & dv&=dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u&= \ln x& v&=x\\ du&= 1/x\dx & dv&=dx \end{aligned} \]

Logo, por integração por partes

\[ \dint \ln x\dx = x\ln x - \dint x\,\frac1x\dx. \]

Que pode ser simplificado à:

\[ \dint \ln x\dx = x\ln{x} - x + C. \]

Exercício. [Integração por Partes]

Calcule $\displaystyle \dint \arctan x\dx $.

Resolução. Utilizaremos o mesmo truque da integral anterior. Fazendo $u=\arctan x $ e $\dv=\dx $. Então $\du=1/(1+x^2)\dx $ e $v=x $. Por Integração por Partes, temos:

\[ \dint \arctan x \dx = x\arctan x - \dint \frac x{1+x^2}\dx. \]

A última integral pode ser feita por substituição. Fazendo $u=1+x^2 $, temos $du=2x\dx $.Assim

\[ \dint \arctan x \dx = x\arctan x - \frac12\dint \frac 1{u}\du. \]

Logo

\[ \dint \arctan x\dx = x\arctan x - \ln(1+x^2) + C. \]

Notação de Somatório

Suponha que desejamos somar uma lista de números $ a_1 $, $ a_2 $, $ a_3 $, $\ldots, a_{10} $. Em vez de escrever

\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9+a_{10}, \]

usamos notação de somatório e escrevemos

somatorio

  • O sigma maiúsculo representa o termo “soma”
  • O índice do somatório neste exemplo é $ i $. Qualquer símbolo pode ser usado.
  • Por convenção, o índice assume apenas os valores inteiros entre (e incluindo) os limites inferiores e superiores.

Vejamos um exemplo

\[ 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2} \]

Observe que na soma acima o termo típico a ser somado é da forma $k^{2} $ e estamos somando esses termos de $1 $ até $n $.

Utilizando a notação de somatório:

\[ \sum_{k=1}^{n}k^{2} \]

A expressão anterior deve ser lida como "soma de $k^{2} $ com $k $ variando de $1 $ até $n $.

E de modo mais geral a soma dos números reais $a_1, \cdots a_n $ pode ser escrita usando a notação de somatório como

\[ \sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+\cdots+a_n \]

Claramente, não é necessário que a soma comece do $1 $. Assim por exemplo, podemos escrever:

\[ \sum_{s=0}^{4}(2s+1)=1+3+5+7+9 \]
\[ \sum_{j=2}^{5}j^{j}=2^{2}+3^{3}+4^{4}+5^{5} \]

Teorema [Propriedades do Somatório].

  • $\dis \sum_{i=m}^n (a_i\pm b_i) = \sum_{i=m}^n a_i \pm \sum_{i=m}^n b_i $
  • $\dis \sum_{i=m}^n c\cdot a_i = c\cdot\sum_{i=m}^n a_i $
  • $\dis \sum_{i=m}^j a_i + \sum_{i=j+1}^na_i = \sum_{i=m}^n a_i $

Teorema 7.

  • $\dis \sum_{i=1}^n c = c\cdot n $, sendo $c $ uma constante.
  • $\dis \sum_{i=1}^n i = \dfrac{n(n+1)}2 $
  • $\dis \sum_{i=1}^n i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}6 $
  • $\dis \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}2\right)^2 $

As demonstrações das propriedades acima devem ser feitas por indução. Apresentaremos aqui argumentos do porque são verdadeiras.

A primeira propriedade é óbvia.

Uma heurística para a Segunda

Seja $S = 1 + 2 + ... + (n-1) + n.$

Escrevendo de trás para frente $S = n + (n-1) + ... + 2 + 1.$

Somando as duas equações termo a termo, cada termo será $n+1,$ logo

\[2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) = n(n+1). \]

Finalmente dividindo por 2 temos

\[S = n(n+1)/2 \]

A terceira:

aaaaa

Para a última. Observe que:

\[1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2. \]

Nicomachus_theorem_3D.svg

Exercício. Calcule

\[ \sum_{i=1}^6 (2i-1). \]

Resolução.

\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^6 (2i-1) & = \sum_{i=1}^6 2i - \sum_{i=1}^6 (1)\\ &= \left(2\sum_{i=1}^6 i \right)- 6 \\ &= 2\dfrac{6(6+1)}{2} - 6 \\ &= 42-6 = 36 \end{aligned} \]

Teorema 8.

\[ \begin{aligned} \limite \dfrac{1}{n} \dis \sum_{i=1}^n 1 =1 &\quad &\limite \dfrac{1}{n^2} \dis \sum_{i=1}^n i =\dfrac{1}{2}\\ \limite \dfrac{1}{n^3} \dis \sum_{i=1}^n i^2 =\dfrac{1}{3} &\quad &\limite \dfrac{1}{n^4} \dis \sum_{i=1}^n i^3 =\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]

Áreas e Somas de Riemann

Considere o problema de determinar a área da região delimitada pelo gráfico de uma função $f(x) $, o eixo $x $ e as retas $x=a $ e $x=b $.

Para isso utilizaremos uma das técnicas fundamentais do Cálculo, primeiro calcularemos uma aproximação e depois refinaremos a resposta e tomando limite teremos a resposta exata.

A área dessa região pode ser aproximada utilizando retângulos, como na figura 1. Aumentando o número de retângulos e diminuindo o tamanho de cada retângulo teremos uma aproximação melhor. E no "limite‘’ teremos a área da região.

\scalebox{0.6}{ \definecolor{qqzzff}{rgb}{0.,0.6,1.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.71cm,y=0.65cm] \draw[->,color=black] (-1.,0.) -- (6.,0.); \foreach \x in {,2.,4.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,6.); \clip(-1.,-1.) rectangle (6.,6.); \draw[line width=0.4pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1, smooth,samples=50,domain=1.0:5.0] plot(\x,{1.0/19.0*(\x-0.4)*(\x+2.0)*(\x-3.0)*(\x-5.0)+4.0}) -- (5.,0.) -- (1.,0.) -- cycle; \draw[line width=1.2pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=-1.0:6.0] plot(\x,{1.0/19.0*((\x)-0.4)*((\x)+2.0)*((\x)-3.0)*((\x)-5.0)+4.0}); \draw (0.998,-0.232) node[anchor=north west] {$a$}; \draw (4.914,-0.232) node[anchor=north west] {$b$}; \begin{scriptsize} \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.71cm,y=0.65cm] \draw[->,color=black] (-1.,0.) -- (6.,0.); \foreach \x in {,2.,4.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,6.); \clip(-1.,-1.) rectangle (6.,6.); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.,0.) rectangle (2.333333333333333,4.757894736842105); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.333333333333333,0.) rectangle (3.666666666666666,4.783885640025991); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.6666666666666665,0.) rectangle (5.,3.1339831059129306); \draw[line width=1.2pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=-1.0:6.0] plot(\x,{1.0/19.0*((\x)-0.4)*((\x)+2.0)*((\x)-3.0)*((\x)-5.0)+4.0}); \draw (0.998,-0.232) node[anchor=north west] {$a$}; \draw (4.914,-0.232) node[anchor=north west] {$b$}; \begin{scriptsize} \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.71cm,y=0.65cm] \draw[->,color=black] (-1.,0.) -- (6.,0.); \foreach \x in {,2.,4.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-1.) -- (0.,6.); % \foreach \y in {,2.,4.} % \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-1.,-1.) rectangle (6.,6.); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.,0.) rectangle (1.2,4.757894736842105); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.2,0.) rectangle (1.4,4.9216); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.4,0.) rectangle (1.6,5.030736842105263); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.6,0.) rectangle (1.8,5.082273684210526); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (1.8,0.) rectangle (2.,5.0752); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.,0.) rectangle (2.2,5.010526315789473); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.2,0.) rectangle (2.4,4.891284210526315); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.4,0.) rectangle (2.6,4.722526315789473); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.6,0.) rectangle (2.8,4.511326315789473); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (2.8,0.) rectangle (3.,4.2667789473684214); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.,0.) rectangle (3.2,4.); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.2,0.) rectangle (3.4,3.7241263157894733); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.4,0.) rectangle (3.6,3.4543157894736836); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.6,0.) rectangle (3.8,3.2077473684210527); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (3.8,0.) rectangle (4.,3.003621052631579); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (4.,0.) rectangle (4.2,2.863157894736842); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (4.2,0.) rectangle (4.4,2.8096); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (4.4,0.) rectangle (4.6,2.86821052631579); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (4.6,0.) rectangle (4.8,3.066273684210526); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.35] (4.8,0.) rectangle (5.,3.433094736842107); \draw[line width=1.2pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=-1.0:6.0] plot(\x,{1.0/19.0*((\x)-0.4)*((\x)+2.0)*((\x)-3.0)*((\x)-5.0)+4.0}); \draw (0.998,-0.232) node[anchor=north west] {$a$}; \draw (4.914,-0.232) node[anchor=north west] {$b$}; \begin{scriptsize} \end{scriptsize} \end{tikzpicture} }
Figura 1. A área da região pode ser aproximada pela soma das áreas dos retângulos.

Como primeiro exemplo considere a região abaixo do gráfico $y=x^2 $ de $[0,1] $. Essa região é apresentada na Figura 2
Queremos determinar a área da região, ou seja, queremos determinar

\[ \dint_0^1x^2 \dx \]

quadrado

Figura 2. Gráfico de $f(x) = x^2 $. Qual a área da região pintada?

Vamos começar com 4 retângulos de tamanho $1/4 $. Estesparticionam o intervalo $[0,1] $ em 4 subintervalos, $[0,1/4] $, $[1/4,1/2] $, $[1/2,3/4] $ e $[3/4,1] $. Em cada subintervalo vamos desenhar um retângulo.

Três escolhas são usuais para a altura do retângulo: o extremo esquerdo, o extremo direito e o ponto médio.

  • Extremo esquerdo Nesse caso escolhemos como altura o valor da função no extremo esquerdo de cada subintervalo.
  • Extremo direito Nesse caso escolhemos como altura o valor da função no extremo direito de cada subintervalo.
  • Ponto Médio Nesse caso escolhemos como altura o valor da função no ponto médio de cada subintervalo.

areas22

Figura 3. Aproximação pelo extremo esquerdo e extremo direito e ponto médio

Exemplo 3.
Aproxime o valor de $\dint_0^1 x^2\dx $ utilizando o extremo esquerdo, o extremo direito, e o ponto médio, utilizando 4 subintervalos de mesmo tamanho.

Dividiremos o intervalo $[0,4] $ em $4 $ subintervalos. Na figura 4 vemos os 4 retângulos desenhados em $f(x) = x^2 $ usando o extremo esquerdo. (As áreas dos retângulos são dadas em cada figura.)

\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.} \definecolor{uququq}{rgb}{0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=3cm,y=3.0cm] \draw[->,color=uququq] (-0.14,0.) -- (1.1,0.); \foreach \x in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(\x,0)},color=uququq] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=uququq] (0.,-0.14) -- (0.,1.1); \foreach \y in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(0,\y)},color=uququq] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=uququq] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.14,-0.14) rectangle (1.1,1.1); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.25] (0.,0.) rectangle (0.25,0.); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.25] (0.25,0.) rectangle (0.5,0.0625); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.25] (0.5,0.) rectangle (0.75,0.25); \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.25] (0.75,0.) rectangle (1.,0.5625); \draw[line width=1.2pt] (-0.8249186000357582,1.5151230776447502) -- (-0.573465693029894,1.5151230776447502); \draw[line width=1.6pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=0.0:1.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)}); \draw (0.09678152839618147,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle 0$}; \draw (0.30297291214099015,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle \frac{1}{64}$}; \draw (0.5820856389174994,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$ \scriptscriptstyle \frac{1}{16}$}; \draw (0.8134223133628945,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$ \scriptscriptstyle \frac{9}{64}$}; \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (-0.8172988149749745,1.5151230776447502) circle (1.5pt); \end{scriptsize} \end{tikzpicture}
Figura 4. Aproximando $\dint_0^1 x^2\dx $ usando oextremo esquerdo.

Observe que no primeiro subintervalo, $[0,1/4] $, o retângulo tem altura $f(0)=0 $. Somando a área dos retângulos (altura $\times $ bases) temos:

\[ \begin{aligned} f(0)\cdot 1 + f(1/4)\cdot 1/4+ f(1/2)\cdot 1/4+f(3/4)\cdot 1/4 &=\\ 0+1/64+1/16+9/64= 14/64&. \end{aligned} \]
\definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \definecolor{wwwwff}{rgb}{0.4,0.4,1.} \definecolor{uququq}{rgb}{0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=3.0cm,y=3.0cm] \draw[->,color=uququq] (-0.14,0.) -- (1.1,0.); \foreach \x in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(\x,0)},color=uququq] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=uququq] (0.,-0.14) -- (0.,1.1); \foreach \y in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(0,\y)},color=uququq] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=uququq] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.14,-0.14) rectangle (1.1,1.1); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.,0.) rectangle (0.25,0.06249997269498189); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.25,0.) rectangle (0.5,0.24999994812857337); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.5,0.) rectangle (0.75,0.5624999263007775); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.75,0.) rectangle (1.,0.9999999072115945); %\draw[line width=1.2pt] (-1.1770669754550642,1.776731951019465) -- (-0.8728089579779685,1.776731951019465); \draw[line width=1.6pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=0.0:1.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)}); \draw (0.06293596711319184,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{1}{64}$}; \draw (0.3367681828425779,0.08681172727889488) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{1}{16}$}; \draw (0.5862597571737963,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{9}{64}$}; \draw (0.8570493927284115,0.08580591565087146) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{1}{4}$}; \end{tikzpicture}
Figura 5. Aproximando $\dint_0^1 x^2\dx $ usando o extremo direito.

Somando a área dos retângulos (altura $\times $ bases) temos:

\[ \begin{aligned} f(1/4)\cdot 1 + f(1/2)\cdot 1+ f(3/4)\cdot 1+f(1)\cdot 1 &=\\ 1/64+1/16+9/64+1/4&= 30/64. \end{aligned} \]

A figura 6 mostra a aproximação de $f $ usando o ponto médio.

\definecolor{wwwwff}{rgb}{0.6,0.2,0.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \definecolor{uququq}{rgb}{0.25098039215686274,0.25098039215686274,0.25098039215686274} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=3.0cm,y=3.0cm] \draw[->,color=uququq] (-0.14,0.) -- (1.1,0.); \foreach \x in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(\x,0)},color=uququq] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$}; \draw[->,color=uququq] (0.,-0.14) -- (0.,1.1); \foreach \y in {,0.2,0.4,0.6,0.8,1.} \draw[shift={(0,\y)},color=uququq] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$}; \draw[color=uququq] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$}; \clip(-0.14,-0.14) rectangle (1.1,1.1); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.,0.) rectangle (0.25,0.015625); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.25,0.) rectangle (0.5,0.140625); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.5,0.) rectangle (0.75,0.390625); \draw[color=wwwwff,fill=wwwwff,fill opacity=0.1] (0.75,0.) rectangle (1.,0.765625); % \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.,0.) -- (0.25,0.) -- (0.25,0.015625) -- (0.,0.015625) -- cycle; % \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.25,0.) -- (0.5,0.) -- (0.5,0.140625) -- (0.25,0.140625) -- cycle; % \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.5,0.) -- (0.75,0.) -- (0.75,0.390625) -- (0.5,0.390625) -- cycle; % \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.75,0.) -- (1.,0.) -- (1.,0.765625) -- (0.75,0.765625) -- cycle; %\draw[line width=1.2pt] (-1.1770669754550642,1.776731951019465) -- (-0.8728089579779685,1.776731951019465); \draw[line width=1.6pt,color=ffqqqq,smooth,samples=100,domain=0.0:1.0] plot(\x,{(\x)^(2.0)}); \draw (0.06293596711319184,0.11885430745366585) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{1}{256}$}; \draw (0.3367681828425779,0.11881172727889488) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{9}{256}$}; \draw (0.5862597571737963,0.11889688762843681) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{25}{256}$}; \draw (0.8570493927284115,0.11810978850229162) node[anchor=north west] {$\scriptscriptstyle\frac{49}{256}$}; \end{tikzpicture}
Figura 6. Aproximando $\dint_0^1 x^2\dx $ usando o ponto médio.

Temos a aproximação de $\dint_0^1 x^2\dx $ como:

\[ \begin{aligned} f(1/8)\cdot 1/4 + f(3/8)\cdot 1/4+ f(5/8)\cdot 1/4+f(7/8)\cdot 1/4 &=\\ 1/256+9/246+25/256+49/256= 21/64&. \end{aligned} \]

Observação Dado uma partição de $[a,b] $, o primeiro subintervalo é $[x_0,x_1] $; o segundo é $[x_1,x_1] $; 0 $i $-ésimosubintervalo é $[x_{i-1},x_{i}] $.

  • Quando usamos o extremo esquerdo o ponto que utilizamos para definir a altura é $x_i^{*}=x_{i-1} $, e a altura do $i $-ésimo retângulo é $f(x_{i-1}) $.

  • Quando usamos o extremo direito o ponto que utilizamos para definir a altura é $x_i^{*}=x_{i} $, e a altura do $i $-ésimo retângulo é $f(x_{i}) $.

  • Quando usamos o ponto médio o ponto que utilizamos para definir a altura é $x_i^{*}=\dfrac{x_{i-1}+x_i}{2} $, e a altura do $i $-ésimo retângulo é $\dis f\left(\dfrac{x_{i-1}+x_{i}}2\right) $.

Em todos os casos asoma das áreas dos retângulos

\[ \sum_{i=1}^n f(x_i^{*})\Delta x_i \]

é dita Soma de Riemann de $f $ em $[a,b] $.

Exercício. Calcule $\dint_0^1 x^2\dx $ aproximando a área utilizando o extremo direito com $n $subintervalos igualmente espaçados.

Sabemos que $\Delta x = \dfrac{1-0}{n} = 1/n $. Também sabemos que $x_i = 0 + \Delta x(i-1) = (i-1)/n $. O extremo direito é $x_{i}= i/n $.

Assim a soma será

\[ \begin{aligned} \dint_0^1 x^2 \dx &\approx \sum_{i=1}^n f(x_{i+1})\Delta x \\ &= \sum_{i=1}^n f\left(\dfrac{i}{n}\right) \Delta x \\ &=\sum_{i=1}^n \left[\dfrac{i}{n}\right]^2\Delta x\\ &=\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{1}{n^3}\right)i^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &=\left(\dfrac{1}{n^3}\right) \sum_{i=1}^n i^2 \\ &=\left(\dfrac{1}{n^3}\right) \left( \dfrac{n(n+1)(2n+1}{6} \right)\\ &=\dfrac{2 n^2 + 3 n + 1}{6n^2}\\ &=\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2n} + \dfrac{1}{6n^2} \end{aligned} \]

Encontramos uma fórmula para aproximar a integral definida utilizando $n $ subintervalos igualmente espaçados e extremo direito.

Usando 10 subintervalos, temos uma aproximação de $ 0,385 $.

Usando $ n = 1000 $ dá uma aproximação de $ 0.3338 $.

Exercício.

Aproxime $\dint_{-1}^5 x^3\dx $ usando o extremo direito e $n $ subintervalos igualmente espaçados, então faça $n\to\infty $ para encontrar a área exata.

Neste caso $\Delta x = \dfrac{5-(-1)}{n} = 6/n $. Também temos que $x_i = (-1) + i\Delta x $;

A soma correspondente ao extremo direito é:

\[ \begin{aligned} \dint_{-1}^5 x^3\dx &\approx \sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta x \\ &= \sum_{i=1}^n f(-1+i\Delta x)\Delta x \\ &= \sum_{i=1}^n (-1+i\Delta x)^3\Delta x \\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &= \sum_{i=1}^n \big((i\Delta x)^3 -3(i\Delta x)^2 + 3i\Delta x -1\big)\Delta x \\ &= \sum_{i=1}^n \big(i^3\Delta x^4 - 3i^2\Delta x^3 + 3i\Delta x^2 -\Delta x\big) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &= \Delta x^4 \sum_{i=1}^ni^3 -3\Delta x^3 \sum_{i=1}^n i^2+ 3\Delta x^2 \sum_{i=1}^n i - \sum_{i=1}^n \Delta x \\ &= \Delta x^4 \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 -3\Delta x^3 \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &+ 3\Delta x^2 \dfrac{n(n+1)}{2} - n\Delta x \\ &= \dfrac{1296}{n^4}\cdot\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} - 3\dfrac{216}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &+ 3\dfrac{36}{n^2}\dfrac{n(n+1)}2 -6\\ &=156 + \dfrac{378}n + \dfrac{216}{n^2} \end{aligned} \]

Mais uma vez, encontramos uma fórmula sucinta para aproximar a integral definida utilizando $n $ subintervalos igualmente espaçados e extremo direito. Usando 10 subintervalos, temos uma aproximação de $ 195,96 $. Usando $ n = 100 $ dá uma aproximação de $ 159,802 $.

figrie9

Figura 7. Aproximando $\dint_{-1}^5 x^3\dx $ usando oextremo direito e 10 subintervalos igualmente espaçados.

Podemos agora calcular o valor exato utilizando o limite

\[ \dint_{-1}^5 x^3\dx = \lim_{n\to\infty} \left(156 + \dfrac{378}n + \dfrac{216}{n^2}\right) = 156. \]

Integral Definida

Nesta seção formalizaremos as ideias apresentadas na seção anterior. Começaremos definindo uma partição. Nos exemplos da seção anterior utilizamos apenas partições em subintervalos de mesmo tamanho, mas nada impede que consideremos partições mais gerais.

Seja $[a,b]\subset\bbR $ um intervalo limitado e fechado. Dizemos que

(25)
\[ P : \ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \qquad n\in\bbN , \]

é uma partição ou divisão de $[a,b] $. Neste caso, escrevemos $P=\{x_i\}_{i=1}^n $

Nos exemplos da seção anterior consideramos três escolhas de ponto para determinar a altura: o extremo direito, o extremo esquerdo e o ponto médio. Nada impede que consideremos escolhas mais gerais.

Deixe $\Delta x_i $ denotar o tamanho do $i $-ésimo subintervalo $[x_i,x_{i+1}] $ e deixe $x_i^{*} $ denotar qualquer valor no $i $-ésimo subintervalo. Os pontos $x_i^{*} $ são denominados marcase o conjunto das marcas será denotado por $C=\{x_i^{*}\} $.

Seja $f $ uma função limitada definida no intervalo fechado $[a,b] $, a soma

\[ R_{f,P,C}=\sum_{i=1}^n f(x_i^{*})\Delta x_i \]

é dita Soma de Riemann de $f $ em $[a,b] $.

Diremos que uma função $f:[a,b]\to \bbR $ é integrável, se existir um número $A\in \bbR $ tal que

(26)
\[ \dis\lim_{\abs{P}\to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i = A\ \]

onde $P = (x_i) $ é uma partição de $[a,b] $ e $ x_i^{*} \in [x_{i-1}\,,\,x_i]. $

Escrevendo o limite acima com   $\eps $'s  e   $\delta $'s  temos

Definição 2.
Uma função $f:[a,b]\to \bbR $ será dita integrável, se existir $A\in \bbR $ tal que $\forall \eps > 0 $, \exists $\delta >0 $ tal que

(27)
\[ \left| \dis\sum^{n}_{i=1} f(x_i^{*})\Delta x_i - A\right| < \eps\ \]

para toda partição de $[a,b] $ com $\abs{P} < \delta, $ qualquer que seja a escolha das marcas. Neste caso, escrevemos

(28)
\[ A = \dint^b_a f(x)\, \dx \]

que é denominada integral definida ou simplesmente integral de $f $ em relação à $x $, no intervalo $[a,b] $.

É importante observar que de acordo com a definição anterior, para que a integral exista o limite não deve depender da escolha da partição e das marcas.

Teorema [Funções Contínuas são Integráveis].

Seja $f $ uma função contínua no intervalo fechado $[a,b] $então existe a integral de Riemann de $f $.

A demonstração desse teorema será apresentada na próxima seção.

Vejamos alguns exemplos. Nesses exemplos, as funções consideradas, são contínuas, e logo integráveis e consequentemente o valor da integral não depende da escolha da partição e das marcas.

Exercício. Mostre que $\dint_a^bx \dx=\dfrac{1}{2}(b^2-a^2) $.

Vamos começar subdividindo o intervalo $[a,b] $ em $n $ subintervalos de tamanho

(29)
\[\Delta x =\dfrac{b-a}{n} \]

Desta forma os pontos da partição são:

(30)
\[x_0=a \qquad x_1=a+\dfrac{b-a}{n}, \qquad x_2=a+2\dfrac{b-a}{n}, \qquad \dots \]
(31)
\[x_k=a+k\dfrac{b-a}{n}, \qquad \dots \qquad x_n=b \]

Agora escolheremos $c_k $ como o extremo direito do subintervalo, isto é, $c_k=x_k $. E logo

\[ \begin{aligned} \dint_a^b x \dx&= \limite \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x\\ &= \limite \sum_{k=1}^n \left[ a+k\dfrac{b-a}{n}\right]\left( \dfrac{b-a}{n}\right)\\ &=(b-a)\limite \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left[ a+k\dfrac{b-a}{n}\right]\\ &=(b-a)\limite \dfrac{1}{n}\left[ \sum_{k=1}^na+ \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n k \right] \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &=(b-a)\limite \dfrac{1}{n} \left[ n a+\dfrac{b-a}{n} \dfrac{n(n+1)}{2} \right] \\ &=(b-a)\limite \left[ a+ \dfrac{b-a}{2} \dfrac{n(n+1)}{n^2}\right]\\ &=(b-a) \left[ a+ \dfrac{b-a}{2} \limite\dfrac{n(n+1)}{n^2}\right]\\ &=(b-a)\left( a+\dfrac{b-a}{2} \right)\\ &=\dfrac{1}{2}(b^2-a^2) \end{aligned} \]

Exercício. Mostre que $\dint_0^1x^2 \dx=\dfrac{1}{3} $.

Vamos começar subdividindo o intervalo $[0,1] $ em $n $ subintervalos de tamanho

(32)
\[\Delta x =\dfrac{1}{n} \]

Desta forma os pontos da partição são:

(33)
\[x_0=0 \qquad x_1=\dfrac{1}{n}, \qquad x_2=2\dfrac{1}{n}, \qquad \dots \]
(34)
\[x_k=k\dfrac{1}{n}, \qquad \dots \qquad x_n=1 \]

Agora escolheremos $c_k $ como o extremo esquerdo do subintervalo, isto é, $c_k=x_{k-1} $. E logo

\[ \begin{aligned} \dint_a^b x^2 \dx&= \limite \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x\\ &= \limite \sum_{k=1}^n \left[ (k-1)\dfrac{1}{n}\right]^2 \dfrac{1}{n}\\ &=\limite \dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n (k-1)^2\\ &=\limite \dfrac{1}{n^3}\left[\sum_{k=1}^n k^2-2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1\right] \\ &=\limite \dfrac{1}{n^3}\left[\dfrac{1}{6} n (n+1) (2 n+1)-n(n+1)+n\right] \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &=\limite \left[ \dfrac{1}{6 n^2}-\dfrac{1}{2 n}+\dfrac{1}{3}\right]\\ &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

Exercício. Mostre que $\dint_0^ax^3 \dx=\dfrac{a^4}{4} $.

Vamos começar subdividindo o intervalo $[0,a] $ em $n $ subintervalos de tamanho

(35)
\[\Delta x =\dfrac{a}{n} \]

Desta forma os pontos da partição são:

(36)
\[x_0=0 \qquad x_1=\dfrac{a}{n}, \qquad x_2=\dfrac{2a}{n}, \qquad \dots \]
(37)
\[x_k=\dfrac{k a}{n}, \qquad \dots \qquad x_n=a \]

Agora escolheremos $c_k $ como o extremo direito do subintervalo, isto é, $c_k=x_{k} $. E logo

\[ \begin{aligned} \dint_a^b x^2 \dx&= \limite \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x\\ &= \limite \sum_{k=1}^n \left[ \dfrac{k a}{n}\right]^3\dfrac{a}{n}\\ &= \limite \dfrac{a^4}{n^4}\sum_{k=1}^n k^3\\ &= \limite \dfrac{a^4}{n^4}\left(\dfrac{1}{4} n^2 (n+1)^2\right)\\ &= \limite \dfrac{a^4 (n+1)^2}{4 n^2}\\ &=\dfrac{a^4}{4} \end{aligned} \]

Exercício. Mostre que $\dint_a^b e^x\dx=e^b-e^a $.

Vamos começar subdividindo o intervalo $[a,b] $ em $n $ subintervalos de tamanho

(38)
\[\Delta x =\dfrac{b-a}{n} \]

Desta forma os pontos da partição são $x_k=a+k\Delta x $

Agora escolheremos $c_k $ como o extremo direito do subintervalo, isto é, $c_k=x_k $. E logo

\[ \begin{aligned} \dint_a^b e^x \dx&= \limite \sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x\\ &= \limite \sum_{k=1}^n e^{ a+k\Delta x } \Delta x\\ &=\limite e^a\Delta x \limite \sum_{k=1}^n e^{{\Delta x }^k}\\ &=\limite e^a\Delta x \frac{e^{\Delta x} \left({e^{\Delta x}}^n-1\right)}{e^{\Delta x}-1}\\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &= \limite e^a\Delta x \frac{e^{b-a}-1}{e^{\Delta x}-1}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^b-e^a}{(e^{\Delta x}-1)/\Delta x}\\ &= e^b-e^a \end{aligned} \]

Funções Contínuas são Integráveis

As duas somas de Riemann que apresentamos abaixo são de particular interesse pois representam duas possibilidades extremas da soma de Riemann para uma dada partição.

Definição [Soma Superior e Inferior].
Definimos a soma superior e inferior de uma função contínua $f $ com relação à partição $P $, respectivamente, por

(39)
\[S(f;P)= \sum_{i=1}^n\supfi\Dxi. \]
(40)
\[I(f;P)= \sum_{i=1}^n\inffi\Dxi \quad\text{e}\quad \]

Para uma partição $P $ e um conjunto de marcas $C $, como

(41)
\[I(f;P)=\sum_{i=1}^n\inffi\Dxi \leq \sum_{i=1}^n f(x_i^{*}) \Dxi \]
(42)
\[ \leq S(f;P)= \sum_{i=1}^n\supfi\Dxi. \]

Consequentemente $I(f; P) \leq R(f; P;C) \leq S(f; P).\,\! $

Definição [Integral de Darboux].

Considere uma função contínua $f:[a,b]\to\bbR $. Se

(43)
\[\lim_{|P|\rightarrow 0}S(f;P)= \lim_{|P|\rightarrow 0}I(f;P), \]

isto é, se a soma superior convergir para soma inferior quando o tamanho de cada intervalo da partição $P $ vai para zero, dizemos que a integral de Darboux existe.

Teorema 10.
A integral de Riemann existe se e somente se a integral de Darboux existe.

Dado uma partição $P $ e denotaremos por $R_{f, P} $ a soma de Riemann. Como

(44)
\[I(f;P)=\sum_{i=1}^n\inffi\Dxi \leq \sum_{i=1}^n f(x_i^{*}) \Dxi \leq \]
(45)
\[\leq S(f;P)= \sum_{i=1}^n\supfi\Dxi. \]

Consequentemente $I_{f, P} \le R_{f, P} \le S_{f, P}.\,\! $

Do fato anterior, temos quese a integral de Darboux existe, então as somas de Darboux superior e inferior correspondente a uma partição suficientemente pequena estará próximo do valor da integral, de modo que qualquer soma de Riemann estará próximo do valor da integral.

Por outro lado para que a soma de Riemann exista, a soma deve existir para qualquer escolha de marcas $x_i^{*} $ e deve ser igual, em particular podemos escolher o $x_i^{*} $ como o máximo e o mínimo Ou seja fazemos a escolha $1 \le k \le n $,existem $u_k, v_k \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k }\right] $ tais que:

(46)
\[\displaystyle f \left({u_k}\right) = \max \left\{ {f \left({x}\right) : x \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k}\right]} \right\} \]
(47)
\[\displaystyle f \left({v_k}\right) = \min \left\{ {f \left({x}\right) : x \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k}\right]} \right\} \]

E desta forma temos que a função é Darboux integrável

Teorema [Funções Contínuas são Integráveis].
Seja $f $ uma função contínua no intervalo fechado $[a,b] $então existe a integral de Riemann de $f $ .

É suficiente demonstrar que dado $\epsilon > 0 $, existe uma partição $P $ de $\left[{a , b}\right] $ tal que:

(48)
\[\displaystyle S(f; P) - I(f; P) < \epsilon \]

onde $S(f; P) $ e $I(f; P) $ denota $S(f; P) $ denota a soma superior e $I(f; P) $ a soma inferior de $f \left({x}\right) $ em $\left[{a , b}\right] $ em relação a partição $P $.

Primeiramente observamos que uma função contínua no intervalo fechado é uniformemente contínua. Logo existe $\delta > 0 $ tal que se $x, y \in \left[{a , b}\right] $ satisfazem $\left\vert{x - y}\right\vert < \delta $, então:

(49)
\[\displaystyle \left\vert{ f \left({x}\right) - f \left({y}\right) }\right\vert < \dfrac {\epsilon} {b - a} \]

Deixe $P = \left\{ {x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n} \right\} $ ser umapartição de $\left[{a , b}\right] $de tamanho menor que $\delta $, isto é, tal que:

(50)
\[\displaystyle \max_{1 \le k \le n} \left({ x_k - x_{k-1} }\right) < \delta \]

Então para $1 \le k \le n $,existem $u_k, v_k \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k }\right] $ tais que:

(51)
\[\displaystyle f \left({u_k}\right) = \max \left\{ {f \left({x}\right) : x \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k}\right]} \right\} \]
(52)
\[\displaystyle f \left({v_k}\right) = \min \left\{ {f \left({x}\right) : x \in \left[{ x_{k-1} \,.\,.\, x_k}\right]} \right\} \]

Por hipótese, $x_k - x_{k-1} < \delta $, logo $\left\vert{u_k - v_k}\right\vert < \delta $. Pela definição de $\delta $ temos que:

(53)
\[\displaystyle f \left({u_k}\right) - f \left({v_k}\right) < \dfrac {\epsilon} {b - a} \]

Consequentemente:

\[ \begin{aligned} S(f; P) - I(f; P)=\\ = \sum_{k \mathop = 1}^n f \left({u_k}\right) \left({ x_k - x_{k-1} }\right) - \sum_{k \mathop = 1}^n f \left({v_k}\right) \left({ x_k - x_{k-1} }\right)\\ = \sum_{k \mathop = 1}^n \left[{ f \left({u_k}\right) - f \left({v_k}\right) }\right] \left({ x_k - x_{k-1} }\right)\\ < \dfrac {\epsilon} {b - a} \sum_{k \mathop = 1}^n \left({ x_k - x_{k-1} }\right)\\ =\dfrac {\epsilon} {b - a} \left({x_n - x_0}\right)\\ = \epsilon \end{aligned} \]

Propriedades da Integral

Antes de continuar faremos a seguinte convenção:

Definição 5.
Dado $a\leq b $ e então definimos

\[ \dint^a_b f(x)\, \dx=-\dint^b_a f(x)\, \dx\,. \]

Proposição. Sejam   $f,g:[a,b]\to \bbR $ funções integráveis. Então a integral é linear, isto é,

  • para todo $\lambda\in\bbR $, a função $\lambda f $ é integrável e

    \[\dint^b_a \lambda f(x)\ \dx =\lambda \dint^b_a f(x)\ \dx\,. \]

  • A função $f+ g $ é integrável e

    \[\dint^b_a\left[ f(x)+ g(x)\right]\ \dx = \dint^b_a f(x)\, \dx + \dint^b_a g(x)\ \dx\,. \]
\[ \begin{aligned} \dint^b_a \lambda f(x)\ \dx &= \dis\lim_{\abs{P}\to 0} \sum_{i=1}^{n}\lambda f(x_i^{*})\Delta x_i\\ &=\dis\lim_{\abs{P}\to 0}\lambda \sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\Delta x_i\\ &= \dis \lambda \lim_{\abs{P}\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\Delta x_i\\ &=\lambda \dint^b_af(x)\ \dx \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \dint^b_af(x)+g(x)\ \dx &= \dis\lim_{\abs{P}\to 0} \sum_{i=1}^{n} \left[ f(x_i^{*})+g(x_i^{*}) \right] \Delta x_i\\ &=\dis\lim_{\abs{P}\to 0} \left[ \sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\Delta x_i + \sum_{i=1}^{n}g(x_i^{*})\Delta x_i\right]\\ &=\dis\lim_{\abs{P}\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\Delta x_i + \lim_{\abs{P}\to 0}\sum_{i=1}^{n}g(x_i^{*})\Delta x_i\\ &=\dint^b_a f(x)\, \dx + \dint^b_a g(x)\ \dx \end{aligned} \]

Proposição. Seja $f:[a,b]\to \bbR $ integrável.

  • A integral é positiva, isto é, se $f(x) \geq 0 $, para todo $x\in[a,b] $, então $\dint^b_a f(x)\ \dx \geq 0 $.

  • Se $g(x)\leq f(x) $ para todo $x\in[a,b] $, então

    \[\dint^b_a g(x)\ \dx \leq \dint^b_a f(x)\ \dx\,. \]

Demonstração. Como $f(x_i^{*})\geq 0 $ então $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i \geq 0 $

\[ \begin{aligned}\dint^b_af(x)\ \dx &= \dis\lim_{\abs{P}\to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\Delta x_i \geq 0 \end{aligned} \]

Para demonstrar a segunda parte note que $ f(x)-g(x)\geq 0. $

Proposição. Seja $f:[a,b]\to \bbR $ integrável e $m,M \in \bbR $. Se $m\leq f(x)\leq M $ então:

(54)
\[ m(b-a) \leq \dint^b_a f(x) \dx \leq M(b-a) \]

Demonstração. Pela Proposição 7 temos:

(55)
\[\dint^b_a m \dx \leq \dint^b_a f(x) \dx \leq\dint^b_a M \dx \]
(56)
\[ m(b-a) \leq \dint^b_a f(x) \dx \leq M(b-a) \]

Proposição. A integral é aditiva, isto é, se existirem as integrais $\dint^c_af(x)\ \dx $ e $\dint^b_c f(x)\ \dx $ com $c\in[a,b] $, então existirá a integral $\dint^b_a f(x)\ \dx $ e

(57)
\[ \dint^b_a f(x)\ \dx = \dint^c_a f(x)\ \dx + \dint^b_c f(x)\ \dx\ . \]
\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.} \definecolor{qqzzff}{rgb}{0.,0.6,1.} \definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.25cm] \draw[->,color=black] (-2.,0.) -- (8.,0.); \foreach \x in {-2.,-1.,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,-2pt); \draw[->,color=black] (0.,-2.) -- (0.,13.); \foreach \y in {,2.,4.,6.,8.,10.,12.} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt); \clip(-2.,-2.) rectangle (8.,13.); \draw[line width=0.4pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1, smooth,samples=50,domain=0.0:4.0] plot(\x,{(-1.0)/5.0*\x*(\x-1.5)*(\x-7.0)+5.0}) -- (4.,0.) -- (0.,0.) -- cycle; \draw[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1, smooth,samples=50,domain=4.0:7.0] plot(\x,{(-1.0)/5.0*\x*(\x-1.5)*(\x-7.0)+5.0}) -- (7.,0.) -- (4.,0.) -- cycle; \draw[line width=1.2pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-2.0000000000000004:7.999999999999999] plot(\x,{(-1.0)/5.0*(\x)*((\x)-1.5)*((\x)-7.0)+5.0}); \draw (-0.1,-0.28) node[anchor=north west] {$a$}; \draw (6.84,-0.28) node[anchor=north west] {$b$}; \draw (2.62,3.84) node[anchor=north west] {$R_1$}; \draw (1.78,8.8) node[anchor=north west] {$f(x)$}; \draw (5.58,3.84) node[anchor=north west] {$R_2$}; \draw (3.88,-0.28) node[anchor=north west] {$c$}; \begin{scriptsize} \end{scriptsize} \end{tikzpicture}
Figura 8.  $ \dint^b_a f(x)\ \dx = \dint^c_a f(x)\ \dx +\dint^b_c f(x)\ \dx $

Teorema [Teorema do Valor Médio para Integrais].
Seja $f $ uma função contínua no intervalo fechado $\left[{a , b}\right] $.

Então existe $c $ no intervalo $\left({a , b}\right) $ tal que :

\[\displaystyle \dint_a^b f \left({x}\right) \dx = f \left({c}\right) \left({b - a}\right) \]

Como $f $ é contínua ela é integrável em $\left[{a , b}\right] $.

Pelo teorema de Weierstrass, existe $m, M \in \left[{a , b}\right] $ tais que:

(58)
\[\displaystyle f \left({m}\right) = \min_{x \in \left[{a , b}\right]} f \left({x}\right) \]
(59)
\[\displaystyle f \left({M}\right) = \max_{x \in \left[{a , b}\right]} f \left({x}\right) \]

Logo

(60)
\[\displaystyle \dint_a^b f \left({m}\right) \dx \le \dint_a^b f \left({x}\right) \dx \le \dint_a^b f \left({M}\right) \dx \]

E assim:

(61)
\[\displaystyle f \left({m}\right) \left({b - a}\right) \le \dint_a^b f \left({x}\right) \dx \le f \left({M}\right) \left({b - a}\right) \]

Dividindo por $\left({b - a}\right) $ temos:

(62)
\[\displaystyle f \left({m}\right) \le \dfrac 1 {b-a}\dint_a^b f \left({x}\right) \dx \le f \left({M}\right) \]

Logo pelo teorema do Valor Intermediário, existe $c \in \left({a , b}\right) $ tal que :

(63)
\[ \dfrac{ 1 }{b-a} \dint_a^b f \left({x}\right) \dx=f \left({c}\right) \]
(64)
\[\dint_a^b f \left({x}\right) \dx=\left({c}\right) \left({b - a}\right) \]

O Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo

Consideremos qualquer função contínua $f $ com $ f(t) \geq 0. $ Então a função

\[\dis g(x) = \dint_a^x f(t) \dt \]

pode ser interpretada como a área de $f $ de $ a $ até $x, $ onde $ x $ pode variar de $ a $ até $b. $

Para calcular $g'(x) $ por definição, primeiro observamos que, para $ h > 0,\, g(x+h) - g(x) $ é obtida subtraindo-se as áreas, logo ela é a área sob o gráfico de $ f $ de $ x $ até $ x+h. $

Para $ h $ pequeno essa área é aproximadamente igual à área do retângulo com altura $f(x) $ e largura $h, $

(65)
\[ g(x+h) - g(x)\approx h f(x), \qquad \]
(66)
\[\qquad \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \approx f(x). \]

Assim esperamos que

(67)
\[ g'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h) -g(x)}{h} =f(x). \]

Isso é verdade em geral, como estabelece o seguinte Teorema.

Teorema [Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo].
Seja $f $ uma função contínua em $[a,b], $ então a função $g $ definida por

(68)
\[\dis g(x) = \dint_a^x f(t)\ dt, \qquad a \leq x \leq b \]

é diferenciável em $(a,b) $ e $ g'(x) = f(x). $

Demonstração: Se $ x $ e $ x + h $ estão em $(a,b), $ então

\[ \begin{aligned} g(x+h) - g(x) & = \dint_a^{x+h} f(t) \ dt - \dint_a^x f(t) \ dt\\ &= \dint_a^x f(t) \ dt + \dint_x^{x+h} f(t) \ dt - \dint_a^x f(t) \ dt = \dint_x^{x+h} f(t) \ dt, \end{aligned} \]

logo para $ h \neq 0, $

(69)
\[ \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h}= \dfrac{1}{h} \dint_x^{x+h} f(t) \ dt. \]

Suponhamos que $ h > 0 . $ Como $ f $ é contínua em $ [x,x+h], $ pelo Teorema de Weierstrassexistem $x_1 $ e $ x_2 $ em $ [x, x+h] $ tais que $ f(x_1) \leq f(t) \leq f(x_2) $ para todo $ t \in [x,x+h]. $

Logo,

(70)
\[ f(x_1) h \leq \dint_x^{x+h} f(t) \ dt \leq f(x_2) h. \]

Como $ h > 0, $ podemos dividir por $h, $ obtendo

(71)
\[ f(x_1)\leq \dfrac{1}{h} \dint_x^{x+h} f(t) \ dt \leq f(x_2) , \]

ou equivalentemente,

(72)
\[ f(x_1)\leq \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \leq f(x_2) . \]

A desigualdade anterior pode ser demonstradade forma similar para $ h < 0 . $

Agora, quando $ h \to 0 ,\, x_1 \to x $ e $ x_2 \to x. $

Consequentemente,

(73)
\[ \lim_{h \to 0} f(x_1) = \lim_{x_1\to x} f(x_1) = f(x), \quad \mbox{e} \quad \lim_{h \to 0} f(x_2) = \lim_{x_2\to x} f(x_2) = f(x), \]

pois $ f $ é contínua, e assim pelo Teorema do Confronto,

(74)
\[ g'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} = f(x), \]

e o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo fica demonstrado.

Exemplo 4.
Ache a derivada da função $ \dis g(x) = \dint_0^x\sqrt{1+t^2} \ dt. $

Como $ f(t) = \sqrt{1+t^2} $ é contínua, pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo $g'(x) = \sqrt{1+x^2}. $

Exemplo 5.
Calcule a derivada de $ \dis g(x) = \dint_1^{x^4} \sec t \ dt. $

Utilizamos o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Seja $ u = x^4, $ então

(75)
\[ g'(x) = \diff{}{x} \dint_1^{x^4} \sec t \ dt \stackrel{RC}{=} \dfrac{d}{dx}\dint_1^{u} \sec t \ dt\diff{u}{x} \]
(76)
\[= \sec u \diff{u}{x} = \sec(x^4) 4x^3. \]

O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo

Computar integrais a partir da definição como um limite de somas de Riemann pode ser um procedimento longo e difícil. O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo nos fornece um método muito mais simples para o cálculo de integrais.

Teorema [Segundo Teorema Fundamental do Cálculo].
Suponha que $f $ é contínua em $[a,b] $ então

\[\dint^b_a f(x)\, \dx = F(b) - F(a)\, \]

onde $F $ é qualquer antiderivada de $f, $ ou seja, uma função tal que $ F'=f. $

Demonstração. Seja $\dis g(x) = \dint_a^x f(t) \ dt . $Pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, $g'(x) = f(x), $ ou seja, $g $ é uma antiderivada de $f $. Temos queduas antiderivadas só podem diferir por uma constante portanto, $ F(x) -g(x) = k, $ onde $ k $ é uma constante. Fazendo $ x = a,$ a fórmula implica que $ F(a) = k $ e fazendo $ x =b ,$ temos $ F(b) - g(b) = k = F(a). $ Daí,

(77)
\[ F(b) - F(a) = g(b) = \dint_a^b f(t) \ dt, \]

e a demonstração está completa.

Notação. Utilizaremos a notação

(78)
\[F(x)\barra^b_a:= F(b)-F(a) \]

Desse modo o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo pode ser reescrito

(79)
\[ \dis \dint^b_a F'(x)\, \dx = \dint^b_af(x)\, \dx = F(b)-F(a) = F(x)\barra^b_a \]

Exemplo 6.
Calcule a integral de $f(x)=x^2$ no intervalo $[1,2]$.

(80)
\[ \dint_1^2 x^2 \, \dx = \dfrac{x^3}{3}\barra_1^2 = \dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}. \]

Exemplo 7.
Calcule $\displaystyle\dint^0_{-1}(x^3+3x-1)\ \dx$.

\[ \begin{aligned} \dint_{-1}^0 (x^3+3x-1) \, \dx &= \dint_{-1}^0 x^3 \, \dx+ \dint_{-1}^0 3x \, \dx - \dint_{-1}^0 1 \, \dx\\ &= \dfrac{x^4}{4}\barra_{-1}^0 + \dfrac{3x^2}{2}\barra_{-1}^0 - x \barra_{-1}^0= -\dfrac{11}{4}. \end{aligned} \]

Integração por Substituição na Integral Definida

Existem dois métodos para calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em calcular primeiro a integral indefinida e então usar o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo. Por exemplo,

(81)
\[ \dint_0^2 2x \sqrt{1+x^2} \dx =\dfrac{2}{3} (1+x^2)^{3/2}\barra^2_0 = \]
(82)
\[ \dfrac{2}{3} (5)^{3/2} -\dfrac{2}{3} (1)^{3/2} =\dfrac{2}{3} ( (5)^{3/2} -1) . \]

Um outro modo consiste em se mudar os limites de integração ao se mudar a variável.

Regra da Substituição para Integrais Definidas. Se $g'$ for contínua em $ [a,b] $ e $ f $ for contínua na variação de $ u = g(x) $, então

(83)
\[\dint^b_a f(g(x)) g'(x)\dx= \dint^{g(b)}_{g(a)} f(u)\du. \]

Demonstração. Seja $ F$ uma antiderivada de $ f .$ Então, $ F(g(x))$ é uma antiderivada de $ f(g(x)) g'(x) ,$ logo, pelo Segundo Teorema Fundamental do Cálculo ([Segundo Teorema Fundamental do Cálculo]), temos

(84)
\[\dint_a^bf(g(x)) g'(x)\dx =F(g(b))-F(g(a)). \]

Por outro lado, aplicando uma segunda vez o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo também temos

(85)
\[ \dint^{g(b)}_{g(a)} f(u)\du = F(u) \barra^{g(b)}_{g(a)} = F(g(b))-F(g(a)) . \]

Exercício. Determine:

(a) $\dint_{-1}^{3}e^{-2x}\dx$;

(b) $\dint_0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\dx$.

(a) Tome $u=-2x$. Então, $du=-2\dx$. Logo, $dx = -du/2$. Quando $x=-1$, $u=2$; quando $x=3$, $u=-6$. Logo, trocando integrando, $dx$ e limites de integração, $\dint_{-1}^{3}e^{-2x}\dx=\dint_2^{-6} e^u(-1/2)\,\du=\left. -\dfrac{e^u}{2}\right\vert_2^{-6}=-\dfrac{e^{-6}}{2} - (-\dfrac{e^2}{2})=\dfrac{1}{2}(e^2 - e^{-6}).$

Outro modo é primeiro encontrar a antiderivada: $\dint e^{-2x}\dx=\dint e^u(-1/2)\,\du=-\dfrac{e^u}{2}=-\dfrac{e^{-2x}}{2}$. Agora basta calcular $\dint_{-1}^{3}e^{-2x}\dx=\left. -\dfrac{e^{-2x}}{2}\right\vert_{-1}^{3}=\dfrac{1}{2}(e^2 - e^{-6})$.

(b) Tome $u=3x^2$. Então $du=6x\dx$. Logo, $x\dx =\du/6$. Quando $x=0$, $u=0$; quando $x=\sqrt{2}$, $u=6$. Logo, trocando integrando, $dx$ e limites de integração, $\dint_0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\dx=\dint_0^{6} e^{u}\du/6=\left. \dfrac{e^u}{6}\right\vert_0^{6}= \frac{e^6}{6} - \dfrac{1}{6}.$

Outro modo é primeiro encontrar a antiderivada: $\dint xe^{3x^2}\dx=\dint e^{u}\du/6=\dfrac{e^u}{6}=\dfrac{e^{3x^2}}{6}.$ Agora basta calcular $\dint_0^{\sqrt{2}} xe^{3x^2}\dx=\left. \dfrac{e^{3x^2}}{6}\right\vert_0^{\sqrt{2}}=\frac{e^6}{6} - \dfrac{1}{6}.$

Exemplo 8.
Calcule $ \dis \dint_{1/2}^1 \sqrt{2x-1}\dx $.

Fazendo $ u = 2x-1, $ temos $\du = 2 \dx $ ou $\dfrac{1}{2}\du= \dx $ Quando $ x =\dfrac{1}{2} ,\, u =0 ;$ quando $ x = 1 ,\, u = 1.$ Assim,

(86)
\[ \dint_{1/2}^1 \sqrt{2x-1}\dx = \dint_0^1 \sqrt{u} \dfrac{1}{2}\du = \dfrac{1}{2}\dint_0^1 \sqrt{u}\du \]
(87)
\[= \dfrac{1}{2}\dfrac{2}{3} u^{3/2} \barra_0^1 = \dfrac{1}{3}. \]

Integração por Partes na Integral Definida

Combinando a fórmula de integração por partes com o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos avaliar integrais definidas por partes.

Proposição. [Integração por Partes]

Sejam $f$ e $g$ funções deriváveis em $[a,b]$ com $f'$ e $g'$ integráveis. Então

(88)
\[\dint_a^bf(x)g'(x)\dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\dint_a^bf'(x)g(x)\dx. \]

Demonstração. Seja $h(x)=f(x)g(x)$. Pela regra da derivada do produto, $h'(x)=f'(x)g(x) + f(x) g'(x)$. Assim, integrando os dois lados de $x=a$ até $x=b$ e utilizando oTFC temos que:

\[ \begin{aligned} \dint_a^b h'(x) \dx &= h(b)-h(a)\\ &= f(b)g(b)-f(a)g(a)\\ &=\dint_a^b f'(x)g(x)\dx + \dint_a^bf(x)g'(x)\dx. \end{aligned} \]

Rearrumando os termos obtemos o resultado.

Exercício. Determine:

  • a) $\dint_0^{\ln 2}e^x\, x\dx$;

  • b) $\dint x\cos x\dx$.

a) Tome $u=x$ e $\dv = e^x\dx$. Assim, $du=dx$ e $v=e^x$. Logo, $\dint x e^x\dx= x e^x - \dint e^x\dx= xe^x - e^x$. Agora utilizamos os limites de integração: $\dint_0^{\ln 2}e^x\, x\dx=\left. xe^x - e^x\right\vert_0^{\ln 2}=2\ln (2) -1$.

Caso tivessemos feito $u=e^x$ e $\dv=x\dx$, teríamos $du=e^x\dx$ e $v= x^2/2$.

Assim, $\dint e^x\, x\dx = \dfrac{x^2e^x}{2} - \dint \dfrac{x^2}{2} e^x\dx $, uma integral ainda mais complicada.

b) Tome $u=x$ e $\dv=\cos x\dx$. Assim $du=dx$ e $v= \sen x$. Logo, $\dint x\cos x\dx= x\sen x - \dint \sen x\dx= x\sen x + \cos x$.

Exemplo 9.
Calcule $ \dis \dint_1^e \dfrac{ \ln x }{x}\dx $.

Fazendo $ u = \ln x, $ temos $\du = \dfrac{1}{x}\dx. $ Quando $ x =1 ,\, u = \ln 1 = 0 ;$ quando $ x = e ,\, u = \ln e =1.$ Assim,

(89)
\[ \dint_1^e \dfrac{ \ln x }{x}\dx = \dint_0^1 u\du = \dfrac{u^2}{2} \barra^1_0 = \dfrac{1}{2}. \]

Deslocamento e Espaço Percorrido

Consideremos uma partícula que se desloca sobre o eixo $x$ com equação de posição $x=x(t)$ e com velocidade $v=v(t)$ contínua em $[a,b]$. Sabemos que $\diff{x}{t}(t)=v(t)$, ou seja, $x(t)$ é uma antiderivada de $v(t)$. Portanto, pelo  [Segundo Teorema Fundamental do Cálculo], temos

(90)
\[\dint^b_av(t)\dt = x(b) - x(a) \]

que é o deslocamento da partícula entre os instantes $a$ e $b$.

Para calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos que considerar os intervalos quando $v(t) \geq 0 $ e também quando $ v(t) \leq 0 .$ Portanto, definimos por

(91)
\[\dint^b_a |v(t)|\dt \]

o espaço percorrido pela partícula entre os instantes  $a$
e$b$.

Quando$v(t)\geq 0$, para todo $t\in [a,b]$, então ((90)) e ((91)) implicam que o espaço percorrido pela partícula e o seu deslocamento coincidem entre os instantes $a$ e $b$ e são iguais à

(92)
\[ \dint^b_a v(t) \dt \]

Exercício. Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com velocidade $v(t)=2-t$.

  • Calcule o deslocamento entre os instantes  $t=1$  e  $t=3$.
  • Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3.
(93)
\[ \text{Deslocamento } = \dint_1^3 (2 -t ) \dt = \left( 2t - \dfrac{t^2}{2} \right)\barra_1^3 = 0. \]
(94)
\[ \text{Espaco percorrido }= \dint_1^3 |2-t| \dt \]
(95)
\[ = \dint _1^2(2-t)\dt - \dint_2^3 (2-t)\dt = 1. \]

Interpretação: em $ [1,2) $ a velocidade é positiva, o que significa que neste intervalo a partícula avança no sentido positivo; em $ (2,3] $ a velocidade é negativa, o que significa que neste intervalo a partícula recua, de tal modo que em $ t = 3 $ ela volta a ocupar a mesma posição por ela ocupava no instante $ t =1.$

Logaritmo e Exponencial

O Logaritmo Definido como uma Integral

Nesta seção vamos apresentar uma definição alternativa do logaritmo a partir da integral de $1/x$ e da exponencial como a função inversa do logaritmo.

A função $ f (t) = 1 / t $ é contínua em $(0, \infty) $. Pelo teorema fundamental do cálculo, $ f $ tem uma antiderivada em no intervalo com pontos finais$ 1 $ e $ x $ sempre que $ x> 0 $. Esta observação permite-nos fazer a seguinte definição.

Definição 6.
A função logaritmo natural é a função definida como

(96)
\[ \ln x = \dint_1^x \dfrac{1}{t} \ dt, \qquad x > 0. \]
\centering \newrgbcolor{xfqqff}{0.4980392156862745 0. 1.} \newrgbcolor{qqzzff}{0. 0.6 1.} \psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.4,-0.4)(4.,2.6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-0pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.8,-0.8)(4.,3.) \pscustom[linecolor=qqzzff,fillcolor=qqzzff,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.}{3.}{1.0/x}\lineto(3.,0)\lineto(1.,0)\closepath} \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=xfqqff,plotpoints=200]{-0.8}{4.0}{1.0/x} \rput[tl](0.9345454545454532,-0.08){$1$} \rput[tl](1.750707070707069,0.42949494949495076){$\ln x$} \rput[tl](2.9385858585858564,-0.080){$x$} \rput[tl](1.2739393939393926,1.3668686868686895){$\dfrac{1}{x}$} \begin{scriptsize} \end{scriptsize} \end{pspicture*}
Figura 9. Definição do logaritmo como integral.

Proposição.

A função logaritmo é contínua e diferenciável em todo seu domínio e satisfaz:

  • $ \ln 1 = 0 ,$
  • $\ln' x = \dfrac{1}{x} $ para todo $ x > 0,$
  • $ \ln(ab) = \ln a + \ln b , $ para todo $ a,b > 0,$
  • $ \ln \left( \dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b,$ para todo $ a,b > 0,$
  • $ \ln (a^r) = r \ln a$ para todo $ a > 0$ e $ r $ racional.

O item $(a)$ segue diretamente da definição pois

\[ \ln(1)=\dint_1^1 {1\over t}\dt =0. \]

A diferenciabilidade de $\ln x$, bem como o item $(b)$ são consequências do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo[Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo]:

(97)
\[\diff{}{x}\ln x= \diff{}{x} \dint_1^x \dfrac{1}{t} \, \dt = \frac{1}{x} \]

A continuidade da função logaritmo éconsequência de sua diferenciabilidade.

Para demonstrar o item$(c)$, seja $f(x) = \ln (ax), $ onde $ a $ é uma constante positiva. Pela Regra da Cadeia, temos

(98)
\[ f'(x) = \dfrac{1}{ax} a = \dfrac{1}{x}. \]

Portanto, $f(x) $ e $ \ln x $ tem a mesma derivada, então diferem por uma constante:

(99)
\[ \ln(ax) = \ln x + C. \]

Fazendo $ x = 1 ,$ temos que $ \ln a = C. $ Assim,

(100)
\[ \ln(ax) = \ln x + \ln a, \]

e substituindo $ x = b,$ temos a propriedade $(c).$

O item$(c)$ também pode ser demonstrado do seguinte modo

\[ \ln(xy)=\dint_1^{xy} {1\over t}\dt= \dint_1^{x} {1\over t}\dt+\dint_x^{xy} {1\over t}\dt =\ln(x)+\dint_x^{xy} {1\over t}\dt. \]

Agora fazemos a substituição $u=t/x$ e assim temos

\[ \dint_x^{xy} {1\over t}\dt=\dint_1^{y} {1\over xu}x\,du =\dint_1^{y} {1\over u}\,du=\ln(y). \]

Para demonstrar o $(d)$ utilizaremoso item$(c)$ com $ a = 1/b ,$ temos que

(101)
\[ \ln \left( \dfrac{1}{b}\right) + \ln b = \ln 1 = 0, \quad \mbox{portanto}\quad \ln \left( \dfrac{1}{b}\right) = - \ln b . \]

Agora,

(102)
\[ \ln \left( \dfrac{a}{b}\right) = \ln \left( a\dfrac{1}{b}\right) = \ln a + \ln \left( \dfrac{1}{b}\right) = \ln a - \ln b. \]

Finalmente o item$(e)$ é demonstrado de maneira análoga e será deixado como exercício.

Gráfico do logaritmo.

Proposição. A função $\ln x $ é crescente e seu gráfico é côncavo para baixo em todos os pontos.

Observe que em particular esta Proposição implica que $ \ln x $ é injetiva.

Demonstração. Como a derivada de $ \ln x$ é sempre positiva, o logaritmo é crescente e como a derivada segunda é sempre negativa, $\ln''(x) = - 1/x^2,$ o logaritmo é côncavo para abaixo em $(0, + \infty).$

Proposição. $\dis\lim_{x\to\infty} \ln x =\infty$

Demonstração. Observe que$\ln 2 >0 $ e para$n\in\bbN$, $\ln 2^n =n\ln 2$. Como $\ln x$ é crescente, quando $x> 2^n$, $\ln(x)>n\ln2$. Como $\dis\lim_{n\to\infty}n\ln2=\infty$, então $\dis\lim_{x\to\infty} \ln x =\infty$.

Proposição. $\lim_{x\to 0^+} \ln x =-\infty$

Demonstração. Se $0< x< 1 $, então $(1/x)>1$ e $\lim_{x\to 0^+} (1/x) = \infty $. Seja $y=1/x$; então $\lim _{x\to 0^+} \ln x= \lim_{y\to \infty}\ln(1/y)$ $=\lim_{y\to \infty}\ln(1)-\ln(y)=\lim_{y\to \infty}-\ln(y)=-\infty.$

Logo, o domínio de $\ln $ é $(0, \infty ) $ e a imagem é $\bbR$; $\ln(x)$ como mostra a Figura.

\newrgbcolor{qqzzff}{0. 0.6 1.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.7,-4.)(10.,4.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.7,-4.)(10.,4.) \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqzzff,plotpoints=200]{9.900000001799037E-8}{10.0}{ln(x)} \rput[tl](4.56604,2.77422){$\ln x$} \end{pspicture*}
Figura 10. Gráfico do logaritmo natural.

Como $ \ln 1 = 0 $,$ \dis \lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty $ e $ \ln x $ é uma função contínua crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número onde $ \ln x $ assume o valor 1. Esse número é denotado por $ e.$

Definição 7.
Denotamos por $ e $ o número tal que $ \ln e = 1.$

Esta definição é consistente com a definição do número $ e $ como um limite. Para isso demonstraremos que

(103)
\[ \dis \lim_{x \to 0 } (1 + x)^{1/x} = e. \]

Seja $ f(x) = \ln x. $ Então $f'(1) = 1$ e pela definição de derivada

\[ \begin{aligned} f'(1) = \lim_{x \to 0} \dfrac{f(1+x) - f(1)}{x} &= \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \ln(1+x)^{1/x} &= \ln \left(\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} \right), \end{aligned} \]

pois a função $ \ln $ é contínua. Assim,

(104)
\[ \ln \left(\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} \right) = 1 \]

e portanto

(105)
\[ \lim_{x \to 0 } (1 + x)^{1/x} = e. \]

Função Exponencial

Agora vamos apresentar uma nova definição da função indiscutivelmentemais importante em toda a matemática. Nós já observamos que a função$ \ln x $ é injetiva e, portanto, tem uma inversa.

Definição 8.
A função inversa de$\ln(x) $ é $y=\exp(x)$, denominada defunção exponencial natural.

O domínio de $\exp(x) $ é os números reais e sua imagem é$(0,\infty)$.Observe que como$\exp(x)$ é a inversa de$\ln(x)$, $\exp (\ln x) =x$ para $x>0$, e $\ln (\exp x) = x$ para todo $x$. Além disso, como consequência das propriedades do$\ln(x)$ temos que $\exp(1) = e$, $\exp(0) = 1$, $\dis\lim _{x\to\infty} \exp x =\infty$, e $\dis\lim_{x\to -\infty } \exp x = 0$.

Proposição. A função exponencial é diferenciável em todos os pontos do domínio e

(106)
\[ {d \over \dx}\exp(x) = \exp(x). \]

Demonstração.

Pelo Teorema da Função Inversa, $ \exp (x) $ possuiderivada em todos os pontos. O teorema também nos diz qual é derivada. Alternativamente, podemos calcular a derivada usando diferenciação implícita: Deixe $ y = \exp x $, então $ \ln y = x $. diferenciando em relação a $ x $ chegarmos $ \dis {1 \over y} {\dy \over \dx} = 1 $. Assim, $ {\dy \over \dx} = y = \exp x $.

Como$\exp x >0 $, $\exp x $ é uma função crescente cujo gráfico é concavo para cima.