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Limites e Continuidade de Funções
‘'It has long been an axiom of mine that the little things are
infinitely more important.’'
- Sherlock Holmes, in A Case of Identity, Arthur Conan Doyle
Intuições sobre Limite
O conceito de limite de uma função num ponto descreve o comportamento dessa função em valores próximos de , mas diferentes de .
Descrição Informal de Limite:
Dizemos que o limite da função é quando tende a se a função torna-se arbitrariamente próxima de quando está suficientemente próximo de , mas diferente de . Denotaremos tal fato por:
(1)
Como o limite com tendendo a de descreve o comportamento da função para valores próximo a , mas diferentes de , assim uma exigência natural a ser imposta sobre a função é que esta esteja definida ao menos num intervalo contendo , exceto possivelmente no próprio ponto .
Os gráficos da Figura 1 mostram três exemplos de funções para os quais os limites existem e são . No primeiro caso a função está definida em , e , na segunda a função não está definida em e na terceira apesar da função estar definida em temos que . Já os gráficos da Figura 2 ilustram duas situações nas quais o limite em não existe.
Figura 1.
Figura 2.
Definição de Limite
Para formalizar a descrição informal de limite que apresentamos na seção anterior, um passo importante é formalizar o conceito de próximo.
Dizemos que um ponto é uma aproximação de com erro menor que se satisfaz , ou seja se . De modo análogo, dizemos que a função é uma aproximação de com erro menor que para para valores de suficientemente próximos de , se para então .
De posse desses conceitos, podemos reescrever a definição de limite como:
Definição [Limite ]. Seja uma função definida num intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio ponto e seja um número real. Dizemos que o limite de é quando tende a, denotado por:
(2)
se para todo existe um tal que
(3)
Figura 3.
A notação significa que o limite existe e é igual a
Exercício.
Mostre a partir da definição de limite que
Resolução.
Como dito anteriormente para demostrar um limite temos que estimar numa vizinhança de .
Nesse caso temos que , independente dos valores de . Ou seja, para qualquer se
então
Exercício. Mostre a partir da definição de limite que
Resolução.
Dado , como:
(4)
Podemos escolher o valor de , fazendo , assim temos que:
se então
(5)
Ou seja, .
Exercício.
[Comportamentos Diferentes à Esquerda e à Direita]
Seja então não existe.
Resolucao
Como:
(6)
Mostraremos que o limite não existe mostrando que não podemos fazer a distância entre e um suposto limite menor que , pois independente do quão próximo escolhermos o ponto da origem teríamos :
(7)
(8)
As equações anteriores teriam que ser satisfeitas simultaneamente para todo .
possui dois comportamentos distintos na vizinhança da origem. Se considerarmos
valores maiores que teremos que e logo
(12)
enquanto que se consideramos valores menores que
teremos que e logo
(13)
Indicaremos tais fatos por:
(14)
Definição Limite Lateral.
Seja uma função definida num intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em e seja um número real.
Dizemos que o limite lateral de quando tende a
pela esquerda é
(15)
se para todo existe um tal que
(16)
De modo análogo, temos:
Definição 3.
Seja uma função definida num intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em e seja um número real.
Dizemos que o limite lateral de quando tende a
pela direita é
(17)
se para todo existe um tal que
(18)
A diferença essencial da definição de limites laterais em relação a definição de limites é que nos limites laterais estamos considerando apenas valores menores que (ou seja intervalos da forma
) nos limites pela esquerda e valores maiores que (ou seja intervalos da forma ) nos limites pela direita.
A próxima proposição relaciona a existência dos limites laterais e do limite
para uma função .
Teorema 1.
Seja uma função definida num intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em e seja um número real. Então
se e somente se e .
O teorema anterior pode ser usado para demonstrar a existência ou não de alguns
limites, como ilustrado nos exemplos seguintes:
Exercício. Mostre que .
Resolução.
Vamos demonstrar a existência do limite usando os limites laterais. Para tanto,
começaremos calculando o limite pela direita. Como se , temos que
(19)
De maneira análoga, vamos calcular o limite pela esquerda. Como se ,
temos que
(20)
Como ambos os limites laterais existem e são iguais temos pelo teorema
1 que:
(21)
Exercício.
Considere a função maior inteiro menor ou igual a , i.e.,
Para todo , encontre
(22)
Resolucao
Começaremos calculando o limite . Para isso seja
tal que . Como estamos interessados no comportamento numa vizinhança de podemos assumir sem perda de generalidade que e assim que
Desta forma como para todo número real , com , tem-se que
e assim:
(23)
Para calcularmos o limite , tomemos um satisfazendo .
Como estamos interessados no comportamento numa vizinhança de podemos assumir sem perda de generalidade que e assim que
(24)
Como os limites laterais são distintos podemos concluir que não existe
para todo .
Exercício.
Considere a função
(25)
Determine o valor de de modo que o limite exista.
Resolução.
Vamos começar calculando os limites laterais
(26)
(27)
Pelo Teorema 1, para que o limite exista devemos ter:
(28)
E assim , e logo .
Propriedades do Limite de Funções
Teorema [Propriedades do Limite].
Seja e duas funções reais tais que
e . Então:
.
(Limite da Soma)
.
(Lim Diferença)
. (Limite do Produto)
. (Limite do Produto por Escalar)
Se então . (Limite do Quociente)
Teorema [Propriedades do Limite 2].
(Limite do Módulo )
para todo
(Lim de Potências)
(Limite da Raiz)
Exercício. Calcule
Resolução.
(29)
Exercício.
Calcule
Resolução.
Se então
(30)
De modo geral para um polinômio podemos calcular o seu limite no ponto
calculando simplesmente ou seja por substituição direta de por
.
Teorema 4. Dado um polinômio
então
Demonstração.
Vamos demonstrar por indução sobre o grau do polinômio. Se é um
polinômio de grau zero, ou seja constante, a igualdade é clara. Por hipótese
indutiva, suponhamos que a igualdade anterior seja válida para os polinômios de
grau menor igual que .
Agora usando a hipótese indutiva e [Propriedades do Limite]
temos:
(31)
Usando a propriedade [Propriedades do Limite] temos que para funções racionais também vale
substituição direta para o cálculo de limites:
Teorema 5. Dados polinômios e com
então
Exercício.
Calcule .
Resolução.
Usando o exemplo anterior podemos calcular o limite por substituição e logo
(32)
Ressaltemos que nem todos os limites podem ser calculados por substituição
direta.
Quando tivermos com e dizemos que temos uma indeterminação do tipo .
Nesses casos para o cálculo do limite temos que realizar uma simplificação antes da utilização das propriedades do limite.
Duas estratégias de simplificação usuais são a fatoração e a multiplicação pelo conjugado, como ilustram os exemplos a seguir.
Exercício.
Calcule .
Resolução.
Nesse caso não podemos realizar substituição direta nem tampouco usar a
propriedade [Propriedades do Limite] pois o limite do denominador é . Como o
limite do numerador também é temos que é raiz de ambos os polinômios e
assim:
Agora para o cálculo do limite e logo
Agora retornaremos ao exemplo [#ex:limiteraiz]
Exercício. [Indeterminação do tipo 0/0]
Calcule .
Resolução.
Novamente não podemos realizar substituição direta nem tampouco usar a
propriedade [Propriedades do Limite] pois o limite do denominador é .
Nesse caso multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado:
(33)
E assim temos que:
(34)
Teorema 6. [Teorema do Confronto] Dadas funções definidas num intervalo contendo
o ponto , exceto possivelmente em , e tais que nesse intervalo. Se
, então
Demonstração
Das hipóteses, temos que existe tal que e se .
Podemos reescrever as desigualdades anteriores como
(35)
e
(36)
se .
Logo
equivalentemente
Consequentemente
se .
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
Como
(37)
temos que
(38)
Como , pelo Teorema do Confronto temos que
(39)
Teorema 7. [Limite Fundamental]
(40)
Demonstração
Começaremos provando que para
valem as desigualdades:
Considere no círculo trigonométrico um ângulo com
conforme apresentado na figura [#fig:desigualdadeseno], como os triângulos e são semelhantes, se denotarmos por o tamanho do segmento , por semelhança de triângulos temos que
e logo
Se denotarmos a área do setor circular delimitado pelos pontos por , pela figura ao lado é fácil ver que valem as desigualdades para :
Dividindo por temos:
Finalmente, comparando os inversos
dos três termos, obtemos:
O caso é análogo e será deixado como exercício.
Assim como pelo Teorema do
Confronto temos o limite desejado.
Exercício.
Calcule
Não podemos usar diretamente a regra do quociente pois . Para eliminar a indeterminação, multiplicaremos o numerador e o denominador por .
Resolução.
(41)
Teorema 8. [Mudança de Variáveis]
Suponha que . E suponha que , e que e que numa vizinhança de . Então
Demonstração.
Seja . Como existe tal que implica .
Como , existe tal que implica . E logo
se .
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
Como como . Pelo Teorema 8 temos que:
.
Continuidade
De modo intuitivo, uma função , com é dita contínua se variações suficientemente pequenas em resultam em variações pequenas de , ou equivalentemente, se para suficientemente próximo de tivermos que é próximo de .
Antes de apresentarmos uma definição precisa de continuidade, vamos examinar alguns exemplos de comportamentos de continuidade e descontinuidades num ponto.
Começaremos por dois exemplos de descontinuidade:
Figura 4.Função descontínua em .
No exemplo da figura 4 quando tomamos valores de diferentes de porém cada vez mais próximos de , os valores de se aproximam de , porém o valor de é , e consequentemente temos uma descontinuidade nesse ponto.
No exemplo da figura 5 temos um tipo distinto de descontinuidade. Quando aproximamos de por valores maiores que , temos que se aproxima de , enquanto que se aproximarmos de por valores menores que então se aproxima de . Veja que isso se manifesta no ‘'salto’' da função no ponto .
Figura 5.Função descontínua em
Definição 4.
Dada uma função definida em pelo menos um conjunto aberto contendo o ponto .
Dizemos que a função é contínua em se e somente se
(42)
ou equivalentemente
(43)
Uma função que é contínua em todo o seu domínio é dita contínua.
Teorema 9. As seguintes funções são contínuas (em todo o seu domínio):
Funções Polinomiais.
Funções Racionais.
A demonstração da continuidade das funções polinomiais e racionais já foi feita
implicitamente nos teoremas 4 e 5, nos quais provamos que dados polinômios e com
então:
(44)
Vamos provar que é contínua. Para isso
começamos mostrando que .
Considere no círculo trigonométrico um ângulo tal que
conforme apresentado na Figura [#fig:continuidadesen].
Geometricamente, temos que área do triângulo , que vale , é menor que a área do setor circular , cujo valor é .
Consequentemente para , vale a desigualdade:
e assim
(45)
E assim
(46)
Pelo Teorema do Confronto temos:
(47)
e logo . Consequentemente a função é contínua.
Como consequência das propriedades do limite, temos as seguintes
propriedades da continuidade de funções.
Teorema 10. Se e são contínuas num ponto , então:
é contínua em
é contínua em
Se então é contínua em
Demonstração.
Faremos apenas a demonstração do item a. A demonstração dos outros itens é similar e deixamos como exercício ao
leitor.
Como as funções são contínuas em temos que os limites e existem e que:
Como consequência do Teorema do Limite da Composta temos que a composição de funções contínuas é
contínuas:
Teorema 12.
Dadas funções definida num aberto contendo o ponto e
definida num aberto contendo o ponto .
Então se é contínua em e se é contínua em , então
é contínua em .
Finalmente, temos que a inversa de uma função contínua é contínua.
Teorema 13. Dado um intervalo e uma
função contínua e monótona em . Então
é contínua em .
Como consequência do Teorema 13 temos que as funções
trigonométricas inversas , , , etc. e a
função são contínuas em todos os pontos de seus respectivos domínios de
definição.
E, ainda, como consequência do Teorema 12 temos que funções elementares,
i.e, funções que são obtidas por soma, produto, quociente e compostas de funções
polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são
contínuas em todos os pontos nos quais estão definidas.
Propriedades das Funções Contínuas
Teorema do Valor Intermediário
Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário nos diz que o gráfico de uma
função contínua assume todos os valores entre e , ou dito de outra
forma, dado entre e , o gráfico de deve interceptar a
reta horizontal .
Teorema 14. [Teorema do Valor Intermediário] Seja uma função contínua em todos os pontos de um intervalo
fechado e com então para todo entre
e existe tal que ;
Figura 7.
Nessa
seção apresentaremos algumas aplicações do Teorema do Valor Intermediário na
demonstração de existência de soluções para equações. Para tanto, por sua
utilidade, enunciaremos o Teorema do Valor Intermediário em uma forma especial e
mais restrita: o Teorema de Bolzano.
Teorema [Teorema de Bolzano].
Seja uma função contínua em todos os pontos de um intervalo fechado
e suponha que e tenham sinais opostos. Então
existe um tal que .
Demonstração.
O teorema é consequência da propriedade de completude dos números reais. Provaremos apenas o caso no qual . A demonstração do outro caso, , é similar.
Seja o conjunto de todos os em tais que . Então é um conjunto não-vazio pois é um elemento de , e é limitado superiormente por . Assim, por completude, existe o supremo . Provaremos que .
Dado , como é contínua, existe tal que sempre que . Isso significa que
(55)
para todo entre e . Pelas propriedades do supremo, existem entre um entre e e que está contido em , de modo que, para esse
(56)
Escolha entre e , que obviamente não estará contido em , e dessa forma teremos:
(57)
Combinando as desigualdades anteriores temos que
(58)
para todo , e assim temos que .
O teorema anterior nos diz que o gráfico de uma função contínua que em está
abaixo do eixo e em está sobre este (ou vice-versa), em algum ponto do intervalo
deve cruzar o eixo .
Exercício.
Mostre que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo .
Resolução. Note que a equação anterior é equivalente . Assim
começaremos considerando a função , que é contínua pois é soma de
funções contínuas.
Agora observamos que , e logo e que
, e logo .
Logo pelo Teorema de Bolzano existe tal que
, e desta forma temos que a equação tem uma solução.
Figura 8.Intersecção dos gráficos de e
Figura 9.Gráfico de .
Exercício. Mostre que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Resolução. Note que a equação anterior é equivalente . Assim começaremos considerando a função , que é contínua pois é soma de funções contínuas.
Agora observamos que , e logo e que , e logo .
Logo pelo Teorema de Bolzano existe tal que , e desta forma temos que a equação tem pelo menos uma solução.
Figura 10.Gráfico de .
Teorema 16.
Uma função contínua de um intervalo fechado em é injetiva se e somente se a função é estritamente monotônica em .
Demonstração.
Se é estritamente crescente ou decrescente em qualquer conjunto , a aplicação é obviamente injetiva.
Assim, a parte mais substancial da proposição consiste na afirmação que cada função injetiva e contínua
é uma função monótona.
Vamos provar por absurdo, suponha que existam três pontos
em , tal que não se encontra entre e . Sem perda de generalidade vamos assumir que está entre e . Por hipótese é
contínua em . Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe neste
intervalo tal que . Temos, então, , mas ,
que é incompatível com a injetividade da função.
Valores Extremos
Teorema 17.
Se uma função é contínua em um intervalo fechado , então ela é limitada nesse intervalo.
Demonstração
Suponha que não é limitada no intervalo .
Deixe ser o ponto médio de . Então será ilimitada em pelo menos um dos dois intervalos de e
. Nós escolhemos o intervalo em que é ilimitada (no caso, em que a função seja ilimitada em ambos os intervalos, nós escolheremos o intervalo de esquerda). Denotaremos esse intervalo como .
Este processo de bisseção será realizado indefinidamente e o intervalo indicará a metade de em que é ilimitada. Caso seja ilimitada em ambas as metades, a metade esquerda será selecionada.
O comprimento do -ésimo intervalo é .
Deixe denotar o conjunto de pontos de extremidade mais à esquerda assim obtido. Deixe denotar o supremo . Então encontra-se em .
Como é contínua em , existe um tal que
(59)
no intervalo de
(No caso , o intervalo deve ser .
Em caso , o intervalo deve ser )
No entanto, o intervalo [] situa-se dentro do intervalo de , pois .
Portanto, é limitada em , o que é uma contradição.
Definição 5.
Seja um intervalo e uma função.
Diremos que é um ponto de máximo global (ou absoluto) de , se
, para todo . Neste caso, diremos que
é máximo global.
Diremos que é um ponto de mínimo global de , se
, para todo . Neste caso, diremos que
é mínimo global.
Um ponto será dito um ponto extremo global, se for
um ponto de máximo global ou um ponto de mínimo global.
Teorema 18. [Teorema de Weierstrass do Valor Extremo]
Seja uma função contínua em um intervalo ,
então atinge seus valores máximos e mínimos em .
Demonstração.
Como é contínua, então possui a menor cota superior, que denominaremos . Suponha que não há nenhum valor para que .
Portanto, para todo . Defina uma nova função por
Observe que para cada e que é contínua e limitada em . Portanto, existe tal que para cada x in [a, b] . Uma vez que para cada ,
(60)
Contradizemos o fato de que foi assumido como sendo o extremo superior de em [a, b].
Assim, deve haver uma valor tal que .
Limites Infinitos e no Infinito
Limites no Infinito
Vamos considerar a função , cujo gráfico é apresentado na Figura 11.
Figura 11.Gráfico de
Podemos observar que conforme os valores de se tornam suficientemente grandes temos que os valores da função se aproximam de .
Denotaremos tal fato por
(61)
Por outro lado, conforme os valores de se tornam suficientemente grandes negativos (negativos e com valores absolutos grandes) temos que os valores da função também se aproximam de 0.
Denotaremos tal fato por
(62)
Podemos modificar a noção de limite anterior de modo a lidar com esses casos. A modificação essencial é formalizar a afirmação que ‘'se é suficientemente grande’' através de ‘'existe tal que se ’'.
Definição Limite no Infinito.
Seja uma função definida para para algum e seja um número real. Dizemos que
(63)
se para todo existe um tal que
(64)
Seja uma função definida para para algum e seja um número real. Dizemos que
(65)
se para todo existe um tal que
(66)
Exercício.
Mostre a partir da definição que .
Resolução.
Queremos mostrar que existe tal que se então .
Para tanto começaremos determinando quando . Como estamos interessados no comportamento no infinito, podemos supor sem perda de generalidade que , e assim temos que a desigualdade é equivalente a . Assim escolhemos .
Quando então e assim . O que prova que .
Exercício.
Mostre a partir da definição que .
Resolução.
Queremos mostrar que existe tal que se então .
Para tanto começaremos determinando quando . Como estamos interessados no comportamento no infinito, podemos supor sem perda de generalidade que , e assim temos que a desigualdade é equivalente a . Assim escolhemos .
Quando então e assim . O que prova que .
Limites Infinitos
No Exercício Resolvido [#ex:umsobreabsx] vimos que não existe o limite .
Figura 12. Não existe
~ End Slide
Em especial, vimos que escolhendo o valor de suficientemente pequeno podemos fazer o valor da função arbitrariamente grande.
Nesses casos nos quais o limite não existe, mas a função toma valores que crescem de forma ilimita dizemos que o limite da função é infinito.
Vejamos outro exemplo:
Os limites e .
Figura 13.
A partir da Figura [#graf:limiteinf] podemos observar que quando tende a pela direita, isto é, por valores maiores que a função cresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes. Enquanto que quando tende a pela esquerda, isto é, por valores menores que a função decresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes e negativos.
Representamos esses comportamentos por:
(67)
Definição Limites Infinitos.
Seja uma função definida num intervalo aberto contendo , exceto possivelmente em .
Dizemos que
se para todo existe um tal que
(68)
Dizemos que
se para todo existe um tal que
(69)
Definição Limites Infinitos 2.
Dizemos que
se para todo existe um tal que
(70)
Dizemos que
se para todo existe um tal que
(71)
De maneira análoga, podemos definir os limites laterais infinitos negativos : e e os limites infinitos no infinito , , e .
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
Pela definição temos que mostrar que dado existe tal que se então .
A demonstração nesse caso é imediata pois escolhendo temos o resultado desejado.
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
Nesse caso basta escolher para termos que se então .
Teorema 19.
Se e então .
Se e então .
Se e então .
Se e então .
Se ou então .
Exemplos Como corolário do teorema anterior, temos os seguintes limites, que são facilmente obtidos através de comparação com uma das funções e ou .
Dado então .
Dado então .
Dado ímpar então .
Dado par então .
Propriedades do Limite Infinito e no Infinito
Teorema [Propriedades Aditivas do Limite Infinito].
Sejam funções, tais que:
(72)
(73)
e seja uma função limitada. Então:
.
.
.
.
Teorema Continuação.
.
.
Teorema [Propriedades Multiplicativas do Limite Infinito].
Seja um
número real e e funções , tais que
(74)
(75)
(76)
Então:
Teorema [Continuação.].
As propriedades anteriores permanecem válidas se trocamos o limite no ponto por limites laterais ou por limites infinitos.
Teorema [Propriedades do Limite no Infinito] .
Seja um número real e duas funções reais tais que e . Então:
.
.
.
.
Teorema [Continuação].
Se então .
.
Indeterminações
Quando tivermos com e dizemos que temos uma indeterminação do tipo
Nesses casos para o cálculo do limite, de modo análogo as indeterminações do tipo , temos que realizar uma simplificação antes da utilização das propriedades do limite.
As estratégias de simplificação usuais são a fatoração e a multiplicação pelo conjugado e também multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um termo apropriado, como ilustram os exemplos a seguir.
Exercício.
Calcule .
Resolução.
(77)
Como , temos que
Temos que
(78)
Exercício.
Calcule .
Resolução.
Colocando o termo de maior grau em evidência:
(79)
Exercício.
Calcule .
Resolução.
(80)
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
(81)
Como
então
(82)
Exercício.
Calcule .
Resolução.
(83)
Exercício.
Calcule .
Resolução.
(84)
O Número e as Funções Exponencial e Logaritmo
O próximo limite é conhecido como Limite Exponencial Fundamental é a base dos logaritmos naturais ou neperianos.
Teorema 26. [Segundo Limite Fundamental]
(85)
onde é a constante de Euler.
Figura 14.
Exercício.
Calcule .
Resolução.
Fazemos a mudança de variável temos:
(86)
Exercício.
Calcule .
Resolução.
Dividindo o numerador e o denominador por temos:
(87)
Logaritmo Natural
Definição 9.
O logaritmo de base é denominado função logaritmo natural ou simplesmente logaritmo.
Assim a função logaritmo é a função dada pela regra
O gráfico da função logaritmo natural está representado abaixo:
Como a função é contínua e crescente, pelo Teorema 13 a sua função inversa é contínua em todo o seu domínio.
Teorema 27. [Terceiro Limite Fundamental]
(88)
Demonstração.
Fazendo a substituição temos que e assim:
