29 de março de 2024

Álgebra Linear Avançada II

 

Ementa

Formas Bilineares e Sesquilineares: Formas Ortogonais, Hermitianas e Simpléticas; Teorema de Classificação das Formas Ortogonais, Hermitianas e Simpléticas. Espaços com produto interno e Hermitiano. Grupos Clássicos. Álgebra Multilinear: Aplicações Multilineares, Produto Tensorial, Isomorfismos Canônicos, Tensores Simétricos e Anti-Simétricos. Álgebra Exterior.

Horário:

terça das 19:00 às 21:00, sala S-301-2,
quinta das 21:00 às 23:00, sala S-301-2,

Atendimento: quintas 18-19:00h (ou por demanda). Na minha Sala – 824, bloco B.

Avaliações Regulares:

P1 – 19/03, P2- 25/04.

Exame no outro quadrimestre. Podem ser cobradas listas de exercício para complementar a nota (ao longo do cronograma)

Bibliografia

Advanced Linear Algebra, Steven Roman (Springer)

Linear Algebra and Geometry: Alexandra I. Kostrikin, Yu I Manin (Gordon and Breach)

Outras Referências:

Multilinear Algebra and Applications

Tensor Analysis on Manifolds: Richard L. Bishop, Samuel I. Goldberg

Notas de Aula Resumidas – Apenas para referência (será atualizada ao longo do curso)

Cronograma (Será atualizado toda semana)

06/02:  Apresentação de Formas Multilineares. Formas Bilineares: Simétrica, Alternada, Antissimétrica. Um pouco de Produto Interno sobre Reais e Complexos e Forma Sesquilinear. Exemplos.

08/02: Formas Bilineares,  Tipos de FB, Matriz de Gram, exemplos.

15/02:  Forma Quadrática. Mudança de Base de Uma Forma Bilinear. Vetores Ortogonais, Formas Reflexivas. Núcleo de uma Forma Bilinear, Formas Bilineares Degeneradas.

Aviso: Será disponibilizada Lista de Exercícios para ser entregue no dia 29/02

20/02: Continuação de Núcleo de Uma Forma Ortogonal, Complemento Ortogonal. Vetores Ortogonais, Formas Reflexivas

Lista de Exercício (Entregar no dia 29/02): Lista 1

22/02:  Teoremas de Classificação, decomposição em Subespaços Unidimensionais. Formas Ortogonais Unidimensionais.

27/02: Geometria Hermitiana. Ortogonalização de Formas Simétricas.

29/02: Continuação de Ortogonalização, Exemplos, Assinatura, Lei de Inércia de Sylvester. Ortogonalização Formas Simpléticas

05/03: Ortogonalização Formas Simpléticas, Isometria. Grupos de Isometria.

12/03 Dúvidas P1

14/03 Aula Cancelada

19/03 Primeira Prova

21/03 Aplicações Multilineares, Espaço das Aplicações Multilineares

26/03 Produto Tensorial

Aula  10: Exemplos de Grupos de Isomettia: O(n), O(n,k), U(n), Sp(2n)

Aula 11: Introdução a Tensores, produto tensorial e definições;

Aula 12: Produto Tensorial, aplicação canônica, universalidade.

Aula 13: Notação de Einstein, Exemplos e base.

Aula 14: Contração de Índices, Subida e Descida de Índices.

Aula 15: Tensores Simétricos e Antissimétricos