Lista 5 de Matemática Discreta (MA12)

Data de entrega: no dia da P3

Um lago tem um número desconhecido de peixes, que denotamos por ${n}$, e queremos estimá-lo. Para tal, pescamos (aleatoriamente) ${n_1}$ peixes e cada um deles recebe uma marca e é devolvida para o lago.

1. De quantas maneiras podemos extrair ${r}$ peixes de modo que ${k}$ estarão marcados?
2. Qual é o número de seleções de ${r}$ bolas?
3. Defina o índice de acerto por $ p_k(n)=\frac{\text{resultado do item (1)}}{\text{resultado do item (2)}}.$ Mostre que ${p_k(n)}$ é
   • crescente para os valores de ${n}$ tais que ${p_k(n) {>} p_k(n-1)}$,
   • decrescente para os valores de ${n}$ tais que ${p_k(n) {<} p_k(n-1)}$.
4. Conclua que ${\lfloor \frac{n_1r}{k} \rfloor}$ é ponto de máximo de ${p_k(n)}$.

Num lago 1000 peixes foram capturados, marcados e devolvidos. Uma nova captura de 1000 peixes é feita 100 deles estão marcados. Supondo que esses eventos ocorrem com a maior probabilidade possível nessas condições, de uma estimativa para o tamanho da população de peixes no lago?