Derivadas

Parte II - Aplicações

Daniel Miranda
UFABC
Cristian Colleti
UFABC

Sumário

Introdução

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Aplicações da Derivada

Valores Extremos

Extremos Absolutos

Definição 1.
Seja $I$ um intervalo e uma função $f:I\to \bbR$ .

  • Diremos que $x_0\in I$ é um ponto de máximo global (ou absoluto) de $f$, se $f(x)\leq f(x_0)$, para todo $x\in I$. Neste caso, diremos que $f(x_0)$ é máximo global.

  • Diremos que $x_0\in I$ é um ponto de mínimo global de $f$, se $f(x)\geq f(x_0)$, para todo $x\in I$. Neste caso, diremos que $f(x_0)$ é mínimo global.

  • Um ponto $x_0\in I$ será dito um ponto extremo global, se $x_0$ for um ponto de máximo global ou um ponto de mínimo global.

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2.,-1.4)(8.4,6.7) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.7,-2.)(8.7,7.) \psplot[linecolor=vermelho,linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{-2.7}{8.7}{(3.0*(x-3.74)^(4.0)-(x-3.74)^(2.0))/((x-3.74)*((x-3.74)^(4.0)+1.0+x-3.74))+3.8999999999999986} \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=vermelho,dotsize=5pt](2.62,1.7708340011377612) \rput[bl](2.92,1.42){Minimo global} \psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,linecolor=vermelho,dotsize=5pt](5.38,5.074082728828099) \rput[bl](3.46,5.2){Maximo global} \end{pspicture*}

Figura 1. O ponto $A$ é um ponto de mínimo e $D$ é um ponto de máximo.

Exercício. Determine os extremos das seguintes funções analisando seus gráficos:

  • a) $x^2\qquad$
  • b) $x^3\qquad$
  • c) $1/x \qquad$
  • d $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-3.,-1.)(3.,4.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-1.)(3.,4.) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=vermelho,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{x^(2)} \rput[bl](1.8,2.48){{$x^2$}} \end{pspicture*}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,3.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(3.,3.) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=vermelho,plotpoints=100]{-3.0}{3.0}{x^(3.0)} \rput[bl](-0.66,1.5){{$x^3$}} \end{pspicture*}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,3.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(3.,3.) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=vermelho,plotpoints=200]{-3.0}{-0.1}{1.0/x} \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=vermelho,plotpoints=200]{0.1}{3.0}{1.0/x} \rput[bl](-1.7,1.04){{$1/x$}} \end{pspicture*}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-3.,-3.)(3.,3.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(3.,3.) \psplot[linewidth=1.4pt,linecolor=vermelho,plotpoints=100]{-3.0}{3.0}{x/(x^(2.0)+1.0)} \rput[bl](1,1.04){$\frac{x}{x^2+1}$} \end{pspicture*}

Resolução.

  1. A função $x^2$ possui um mínimo em $x=0$ e não possui máximo;.

  2. A função $x^3$ não possui máximo e mínimo.

  3. A função $1/x$ não possui máximo e mínimo.

  4. A função $\dfrac{x}{x^2+1}$ possui máximo e mínimo.

Exercício. Utilizando os gráficos da Figura do slide abaixo Determine os extremos das seguintes funções nos intervalos especificados:

  1. $x^2$ em $[-1,2]$

  2. $x^2$ em $(-1,2)$

\colorlet{ccqqqq}{vermelho} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \scalebox{0.6}{\begin{pspicture*}(-1.7,-1.)(2.7,5.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.7,-1.)(2.7,5.) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9999996000000083,0.9999992000001766)(-0.9999996000000083,0.9999992000001766) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9999996000000083,0.9999992000001766)(-0.9849995666216282,0.9702241462447955) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9849995666216282,0.9702241462447955)(-0.9699995332432482,0.9408990944921193) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9699995332432482,0.9408990944921193)(-0.9549994998648681,0.9120240447421482) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9549994998648681,0.9120240447421482)(-0.939999466486488,0.8835989969948821) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.939999466486488,0.8835989969948821)(-0.924999433108108,0.8556239512503211) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.924999433108108,0.8556239512503211)(-0.9099993997297279,0.828098907508465) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.9099993997297279,0.828098907508465)(-0.8949993663513478,0.8010238657693141) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8949993663513478,0.8010238657693141)(-0.8799993329729677,0.7743988260328681) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8799993329729677,0.7743988260328681)(-0.8649992995945877,0.7482237882991272) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8649992995945877,0.7482237882991272)(-0.8499992662162076,0.7224987525680914) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8499992662162076,0.7224987525680914)(-0.8349992328378275,0.6972237188397605) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8349992328378275,0.6972237188397605)(-0.8199991994594474,0.6723986871141346) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8199991994594474,0.6723986871141346)(-0.8049991660810674,0.6480236573912139) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.8049991660810674,0.6480236573912139)(-0.7899991327026873,0.6240986296709982) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.7899991327026873,0.6240986296709982)(-0.7749990993243072,0.6006236039534874) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.7749990993243072,0.6006236039534874)(-0.7599990659459271,0.5775985802386817) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.7599990659459271,0.5775985802386817)(-0.7449990325675471,0.555023558526581) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.7449990325675471,0.555023558526581)(-0.729998999189167,0.5328985388171854) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.729998999189167,0.5328985388171854)(-0.7149989658107869,0.5112235211104948) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.7149989658107869,0.5112235211104948)(-0.6999989324324069,0.4899985054065093) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6999989324324069,0.4899985054065093)(-0.6849988990540268,0.46922349170522876) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6849988990540268,0.46922349170522876)(-0.6699988656756467,0.4488984800066533) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6699988656756467,0.4488984800066533)(-0.6549988322972666,0.4290234703107828) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6549988322972666,0.4290234703107828)(-0.6399987989188866,0.4095984626176174) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6399987989188866,0.4095984626176174)(-0.6249987655405065,0.390623456927157) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6249987655405065,0.390623456927157)(-0.6099987321621264,0.37209845323940166) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.6099987321621264,0.37209845323940166)(-0.5949986987837463,0.35402345155435133) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.5949986987837463,0.35402345155435133)(-0.5799986654053663,0.336398451872006) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.5799986654053663,0.336398451872006)(-0.5649986320269862,0.31922345419236575) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.5649986320269862,0.31922345419236575)(-0.5499985986486061,0.3024984585154305) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.5499985986486061,0.3024984585154305)(-0.534998565270226,0.2862234648412003) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.534998565270226,0.2862234648412003)(-0.519998531891846,0.27039847316967514) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.519998531891846,0.27039847316967514)(-0.5049984985134659,0.255023483500855) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.5049984985134659,0.255023483500855)(-0.4899984651350859,0.24009849583473997) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.4899984651350859,0.24009849583473997)(-0.47499843175670586,0.22562351017132995) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.47499843175670586,0.22562351017132995)(-0.45999839837832585,0.21159852651062497) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.45999839837832585,0.21159852651062497)(-0.44499836499994583,0.19802354485262502) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.44499836499994583,0.19802354485262502)(-0.4299983316215658,0.18489856519733008) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.4299983316215658,0.18489856519733008)(-0.4149982982431858,0.17222358754474018) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.4149982982431858,0.17222358754474018)(-0.3999982648648058,0.1599986118948553) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.3999982648648058,0.1599986118948553)(-0.38499823148642576,0.14822363824767548) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.38499823148642576,0.14822363824767548)(-0.36999819810804574,0.13689866660320066) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.36999819810804574,0.13689866660320066)(-0.3549981647296657,0.12602369696143087) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](-0.3549981647296657,0.12602369696143087)(-0.3399981313512857,0.11559872932236613) 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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.4600058740543167,2.131617152273109)(1.4750059074326967,2.175642426961353) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.4750059074326967,2.175642426961353)(1.4900059408110766,2.2201177036523014) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.4900059408110766,2.2201177036523014)(1.5050059741894566,2.2650429823459555) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5050059741894566,2.2650429823459555)(1.5200060075678365,2.310418263042314) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5200060075678365,2.310418263042314)(1.5350060409462165,2.3562435457413775) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5350060409462165,2.3562435457413775)(1.5500060743245965,2.4025188304431464) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5500060743245965,2.4025188304431464)(1.5650061077029764,2.4492441171476202) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5650061077029764,2.4492441171476202)(1.5800061410813564,2.496419405854799) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5800061410813564,2.496419405854799)(1.5950061744597364,2.544044696564683) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.5950061744597364,2.544044696564683)(1.6100062078381163,2.592119989277272) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6100062078381163,2.592119989277272)(1.6250062412164963,2.6406452839925656) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6250062412164963,2.6406452839925656)(1.6400062745948762,2.6896205807105646) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6400062745948762,2.6896205807105646)(1.6550063079732562,2.7390458794312686) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6550063079732562,2.7390458794312686)(1.6700063413516362,2.7889211801546776) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6700063413516362,2.7889211801546776)(1.6850063747300161,2.8392464828807915) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.6850063747300161,2.8392464828807915)(1.700006408108396,2.8900217876096104) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.700006408108396,2.8900217876096104)(1.715006441486776,2.9412470943411346) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.715006441486776,2.9412470943411346)(1.730006474865156,2.992922403075364) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.730006474865156,2.992922403075364)(1.745006508243536,3.045047713812298) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.745006508243536,3.045047713812298)(1.760006541621916,3.097623026551937) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.760006541621916,3.097623026551937)(1.775006575000296,3.150648341294281) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.775006575000296,3.150648341294281)(1.7900066083786759,3.20412365803933) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.7900066083786759,3.20412365803933)(1.8050066417570558,3.2580489767870846) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8050066417570558,3.2580489767870846)(1.8200066751354358,3.3124242975375435) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8200066751354358,3.3124242975375435)(1.8350067085138158,3.367249620290708) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8350067085138158,3.367249620290708)(1.8500067418921957,3.422524945046577) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8500067418921957,3.422524945046577)(1.8650067752705757,3.478250271805152) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8650067752705757,3.478250271805152)(1.8800068086489556,3.534425600566431) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8800068086489556,3.534425600566431)(1.8950068420273356,3.591050931330415) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.8950068420273356,3.591050931330415)(1.9100068754057156,3.6481262640971046) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.9100068754057156,3.6481262640971046)(1.9250069087840955,3.705651598866499) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.9250069087840955,3.705651598866499)(1.9400069421624755,3.7636269356385985) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.9400069421624755,3.7636269356385985)(1.9550069755408555,3.822052274413403) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.9550069755408555,3.822052274413403)(1.9700070089192354,3.8809276151909127) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq](1.9700070089192354,3.8809276151909127)(1.9850070422976154,3.940252957971127) \begin{scriptsize} \rput[bl](0.5,0.96){\ccqqqq{$f$}} \psdots[linecolor=vermelho](-1.,1.) \psdots[dotstyle=*,linecolor=vermelho](0.,0.) \psdots[linecolor=vermelho](2.,4.) \end{scriptsize} \end{pspicture*}}

Figura 2. Gráficos de $x^2$ em $[-1,2]$ e $(-1,2)$

Resolução.

  1. Pelos gráficos da Figura 2, temos que o máximo de $x^2$ em $[-1,2]$ ocorre em $x=2$. O valor máximo que a função atinge é $f(2)=4$.

  2. Pelos gráficos da Figura 2, temos a função $x^2$ em $(-1,2)$ não possui máximo $x=2$. Um modo de ver isso é por redução ao absurdo. Suponha que tivesse um máximo em $a$, que podemos supor maior que $0$, se tomarmos valor $b$ entre $a$ e $2$ a função será maior em $b$, pois a função é crescente em $[0,2)$. O que levaria a um absurdo e logo a função não possui máximo. Porque esse argumento não funciona no item anterior?

Extremos Relativos

Definição 2.
Seja $I$ um intervalo e $f:I\to \bbR$ uma função.

  • Diremos que $x_0\in I$ é um ponto de máximo local de $f$, se existir $\delta>0$ tal que $f(x)\leq f(x_0)$, para todo $x\in(x_0-\delta, x_0+ \delta)\cap I$. Neste caso, diremos que $f(x_0)$ é um máximo local.

  • Diremos que $x_0\in I$ é um ponto de mínimo local de $f$, se existir $\delta>0$ tal que $f(x)\geq f(x_0)$, para todo $x\in(x_0-\delta, x_0+ \delta) \cap I$. Neste caso, diremos que $f(x_0)$ é mínimo local.

  • Um ponto $x_0\in I$ será dito um ponto extremo local, se $x_0$ for um ponto de máximo local ou um ponto de mínimo local.

\psset{algebraic,labelsep=2pt,xunit=1cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(0,0)(5,3.5) \psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=.5pt,arrowscale=1.8]{->}(0,0)(0,0)(5,5) \psplot[linecolor=vermelho]{.5}{3.75}{x+sin(x^2)} \qdisk(1.4,2.33){1.3pt} \qdisk(2.12,1.15){1.3pt} \qdisk(2.83,3.8){1.3pt} \qdisk(3.3,2.3){1.3pt} \uput[u](1.4,2.33){\scalefont{.7}$(a,f(a))$} \uput[d](2.12,1.15){\scalefont{.7}$(b,f(b))$} \uput[u](2.83,3.8){\scalefont{.7}$(c,f(c))$} \uput[d](3.3,2.3){\scalefont{.7}$(d,f(d))$} \end{pspicture}

A função $f$ possui máximos relativos nos pontos $a$ e $c$ e mínimos relativos nos pontos $b$ e $d$. Observe que $f(d)>f(a)$, ou seja, o valor de uma função em um mínimo relativo pode ser maior que o valor num máximo relativo.

Teorema [Teorema de Fermat].
Se $f$ é uma função definida no intervalo aberto $(a,b)$ e $x$ é um ponto extremo de $f$ em $(a,b)$ então ou $f$ não é diferenciável em $x$ ou $f^{\prime}(x) = 0$.

Demonstração

Suponha que $f$ é diferenciável em $\displaystyle x_0$ e que $\displaystyle x_0$ é um máximo local (uma prova similar pode ser feita quando $ x_0$ é um mínimo local). Então $\exists \, \delta > 0 $ tal que $(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)$ e tal que $f(x_0) \ge f(x)\, \forall x$ para todo $x$ satisfazendo $ |x - x_0| < \delta $. Logo, para qualquer $h \in (0,\delta)$ temos que:

(1)
\[ \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0. \]

Tomando o limite $ h\to 0$ temos que $f'(x_0) \le 0$. Por outro lado para $h \in (-\delta,0)$ temos que

(2)
\[ \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0 \]

Novamente, tomando o limite $ h\to 0$ temos que $f'(x_0) \ge 0$

Logo $ f'(x_0) = 0.$

Observação. A recíproca não é necessariamente verdadeira. Seja $f(x)=x^3$ que está definida em todo $x \in \mathbb{R}$. Logo $f^{\prime}(x)= 3 . x^2$. Portanto $f^{\prime}(0)= 0$. Porém $0$ não é um ponto nem de máximo nem de mínimo para a função $f$ em qualquer intervalo $(a,b)$ que contenha o $0$.

Definição 3.
O ponto $p \in \Dom f $ é um ponto crítico de $f$ se $f^{\prime}(p) = 0$ ou se a derivada de $f$ no ponto $p$ não existir. Neste caso, o valor $f(p)$ é chamado valor crítico da função $f$.

Note que é necessário que exista $f (p)$, a fim de $p$ ser um ponto crítico. Este é um ponto importante, e muitas vezes esquecido.

Exercício. Determine os pontos críticos da função $y=3x+2\cos (3x)$.

Resolução. A derivada é dada por

(3)
\[ y'=3-6\sin 3x \]

Os pontos críticos ocorrem quando

(4)
\[ \sin 3x=\frac{1}{2} \]

Ou seja, quando

(5)
\[ 3x=\frac{\pi }{6}+2 \pi k \quad 3x=\frac{5\pi }{6}+2 \pi k \quad k\in\bbZ \]

Ou seja quando

(6)
\[ x=\frac{\pi }{18}+\frac{2 \pi k}{3} \quad 3x=\frac{5\pi }{18}+\frac{2 \pi k}{3} \quad k\in\bbZ \]

Exercício. Determine os pontos críticos da função $g(x)=x-x^{1/3}$.

Resolução. Derivando temos que $g'(x)=1-1/3x^{-2/3}$. Ou seja, $g'(x)=1-\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Simplificando, temos:

(7)
\[ g'(x)=1-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac{3 \sqrt[3]{x^2}-1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \]

e assim os pontos críticos são:

(8)
\[ x=-\frac{1}{3 \sqrt{3}} \text{ e } x=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \]
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2.7,-1.7)(2.6,1.7) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=12.,Dy=12.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.6,-2.7)(3.6,2.7) \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho,plotpoints=200]{-3.6}{3.6}{x-x/abs(x)*abs(x)^(1/3)} \begin{scriptsize} \rput[tl](-2.7,1.6){$f(x) \, = \,x - x^{\dfrac{1}{3}}$} \end{scriptsize} \end{pspicture*}

Exercício. Determine os pontos críticos da função $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-x-6}$.

Resolução.

Extremos em Intervalos Fechados

O Teorema de Weierstrass [de Weierstrass ou do Valor Extremo] afirma que uma função contínua em um intervalo fechado atinge valor máximo e um mínimo global, mas não diz como encontrar esses valores extremos. Notemos que o valor extremo ou ocorre num ponto crítico ou ocorre em um extremo do intervalo.

Teorema [de Weierstrass ou do Valor Extremo].
Se $f$ for contínua em $[a,b]$, então existirão $x_1,x_2\in [a,b]$ tais que

(9)
\[ f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2), \text{ para todo } x \in [a,b]. \]

Como consequência dos Teorema de Weierstrass e de Teorema de Fermat, temos

Teorema 3.
Se $f$ é continua no intervalo fechado e limitado $[a,b]$, então $f$ tem pontos de máximo e de mínimo em $[a,b]$. Mais ainda, os únicos possíveis pontos extremais da função $f$ são:

  1. pontos críticos de $f$;
  2. os extremos do intervalo fechado $[a,b]$, isto é $a$ ou $b$.
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4.25) \psline[linewidth=.08cm](1.5,1)(3.3,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1.5,1){.1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3.3,1){.1} \rput(1.5,.5){$a$} \rput(3.3,.5){$b$} \pscurve[linecolor=red]{*-*}(1.5,2)(2.2,4)(2.9,2.5)(3.3,3) \pscircle*(2.2,4){.08} \psline[linestyle=dotted](2.2,4)(2.2,1) \psline(2.2,.8)(2.2,1.2) \rput(2.2,.5){$x_0$} \psline{->}(.5,1)(4,1) \psline{->}(.75,.75)(.75,4.25) \psline(1.5,.8)(1.5,1.2) \psline(3.3,.8)(3.3,1.2) \rput(2,0){$x_0$ um máximo interior,} \rput(2,-.4){$f'(x_0)=0$.} \rput(2,-.8){ Sem pontos de minimo interior.} \end{pspicture} %%%%%%% Second Graph \begin{pspicture}(0,-1)(4,4.25) \psline[linewidth=.08cm](1.5,1)(3.3,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1.5,1){.1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3.3,1){.1} \rput(1.5,.5){$a$} \rput(3.3,.5){$b$} \psline[linecolor=red]{*-*}(1.5,2)(2.2,4)(2.9,2.5)(3.3,3) \pscircle*(2.2,4){.08} \psline[linestyle=dotted](2.2,4)(2.2,1) \psline(2.2,.8)(2.2,1.2) \rput(2.2,.5){$x_0$} %%%Draw Axes Last \psline{->}(.5,1)(4,1) \psline{->}(.75,.75)(.75,4.25) \psline(1.5,.8)(1.5,1.2) \psline(3.3,.8)(3.3,1.2) \rput(2,0){$x_0$ um maximo interior,} \rput(2,-.4){$f'(x_0)$ não existe.} \rput(2,-.8){Sem pontos de minimo interior.} \end{pspicture}

Figura 3. Os extremos no interior do intervalo devem ocorrer nos pontos onde $f'$ é zero ou não existe.
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4.25) \psline[linewidth=.08cm](1.5,1)(3.3,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1.5,1){.1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](3.3,1){.1} \rput(1.5,.5){$a$} \rput(3.3,.5){$b$} \pscurve[linecolor=red]{*-*}(1.5,4)(1.95,2.5)(2.4,3.3)(2.85,2.5)(3.3,4) \pscircle*(1.95,2.5){.08} \pscircle*(2.85,2.5){.08} \psline[linestyle=dotted](1.95,2.5)(1.95,1) \psline(1.95,.8)(1.95,1.2) \rput(1.95,.5){$x_1$} \psline[linestyle=dotted](2.85,2.5)(2.85,1) \psline(2.85,.8)(2.85,1.2) \rput(2.85,.5){$x_2$} %%Draw Axes Last \psline{->}(.5,1)(4,1) \psline{->}(.75,.75)(.75,4.25) \psline(1.5,.8)(1.5,1.2) \psline(3.3,.8)(3.3,1.2) \rput(2,0){$x_1,x_2$ minimos,} \rput(2,-.4){$f'(x_1),f(x_2)=0$.} \rput(2,-.8){Sem pontos de maximo interior.} \end{pspicture}

Exercício. Ache os extremos de $f(x)=3x^4-4x^3-8$ em $[-1,2]$.

\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2.2,-12.)(3.3,12.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=10.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.2,-12.)(3.3,12.) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](-0.9999989999999884,-1.0000239999702778)(-0.9999989999999884,-1.0000239999702778) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](-0.9999989999999884,-1.0000239999702778)(-0.9849989624883585,-1.3533278257755033) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](-0.9849989624883585,-1.3533278257755033)(-0.9699989249767286,-1.6934534815762987) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](-0.9699989249767286,-1.6934534815762987)(-0.9549988874650986,-2.020719502005731) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](-0.9549988874650986,-2.020719502005731)(-0.9399988499534687,-2.3354407766604037) 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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.3100067767910204,-8.157323107001345)(1.3250068143026503,-8.058108420291559) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.3250068143026503,-8.058108420291559)(1.3400068518142803,-7.951827722517228) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.3400068518142803,-7.951827722517228)(1.3550068893259102,-7.838238212696355) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.3550068893259102,-7.838238212696355)(1.37000692683754,-7.717093444810478) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.37000692683754,-7.717093444810478)(1.38500696434917,-7.5881433278046835) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.38500696434917,-7.5881433278046835)(1.4000070018608,-7.451134125587588) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4000070018608,-7.451134125587588)(1.4150070393724299,-7.305808457031349) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4150070393724299,-7.305808457031349)(1.4300070768840598,-7.151905295971664) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4300070768840598,-7.151905295971664)(1.4450071143956897,-6.989159971207769) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4450071143956897,-6.989159971207769)(1.4600071519073197,-6.817304166502437) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4600071519073197,-6.817304166502437)(1.4750071894189496,-6.636065920581981) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4750071894189496,-6.636065920581981)(1.4900072269305795,-6.445169627136245) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.4900072269305795,-6.445169627136245)(1.5050072644422094,-6.24433603481863) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.5050072644422094,-6.24433603481863)(1.5200073019538394,-6.033282247246058) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.5200073019538394,-6.033282247246058)(1.5350073394654693,-5.811721722998993) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.5350073394654693,-5.811721722998993)(1.5500073769770992,-5.579364275621444) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.5500073769770992,-5.579364275621444)(1.5650074144887292,-5.335916073620956) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.5650074144887292,-5.335916073620956)(1.580007452000359,-5.081079640468603) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.580007452000359,-5.081079640468603)(1.595007489511989,-4.814553854599012) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.595007489511989,-4.814553854599012)(1.610007527023619,-4.536033949410346) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.610007527023619,-4.536033949410346)(1.6250075645352489,-4.2452115132642945) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.6250075645352489,-4.2452115132642945)(1.6400076020468788,-3.9417744894861) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.6400076020468788,-3.9417744894861)(1.6550076395585087,-3.6254071763645364) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.6550076395585087,-3.6254071763645364)(1.6700076770701386,-3.2957902271519153) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.6700076770701386,-3.2957902271519153)(1.6850077145817686,-2.952600650064092) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.6850077145817686,-2.952600650064092)(1.7000077520933985,-2.595511808280449) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7000077520933985,-2.595511808280449)(1.7150077896050284,-2.224193419943923) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7150077896050284,-2.224193419943923)(1.7300078271166583,-1.8383115581609815) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7300078271166583,-1.8383115581609815)(1.7450078646282883,-1.4375286510016245) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7450078646282883,-1.4375286510016245)(1.7600079021399182,-1.0215034814994084) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7600079021399182,-1.0215034814994084)(1.7750079396515481,-0.589891187651407) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.7750079396515481,-0.589891187651407)(1.790007977163178,-0.1423432624182439) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.790007977163178,-0.1423432624182439)(1.805008014674808,0.321492446275915) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.805008014674808,0.321492446275915)(1.820008052186438,0.8019717355433755) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.820008052186438,0.8019717355433755)(1.8350080896980678,1.299454047532901) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.8350080896980678,1.299454047532901)(1.8500081272096978,1.814302469429709) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.8500081272096978,1.814302469429709)(1.8650081647213277,2.346883733455499) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.8650081647213277,2.346883733455499)(1.8800082022329576,2.8975682168684003) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.8800082022329576,2.8975682168684003)(1.8950082397445875,3.4667299419630275) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.8950082397445875,3.4667299419630275)(1.9100082772562175,4.054746576070453) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.9100082772562175,4.054746576070453)(1.9250083147678474,4.661999431558204) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.9250083147678474,4.661999431558204)(1.9400083522794773,5.288873465830278) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.9400083522794773,5.288873465830278)(1.9550083897911072,5.935757281327131) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.9550083897911072,5.935757281327131)(1.9700084273027372,6.603043125525662) \psline[linewidth=1.2pt,linecolor=vermelho](1.9700084273027372,6.603043125525662)(1.985008464814367,7.2911268909392675) \begin{scriptsize} \rput[bl](-0.76,-3.4){{$f$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.,-1.) \rput[bl](-2.,-3.7){\darkgray{(-1,-1)}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,-8.) \rput[bl](0.08,-7.4){\darkgray{(0,-8)}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,-9.) \rput[bl](0.98,-10.9){\darkgray{(1,-9)}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,8.) \rput[bl](2.08,8.6){\darkgray{(2,8)}} \end{scriptsize} \end{pspicture*}

Resolução Como $f$ é diferenciável, os pontos críticos ocorrem quando $f'(x)=0$. Calculando a derivada temos:

(10)
\[ f'(x)= 12 x^{3} - 12x^{2} \]

resolvendo

(11)
\[ 12 x^{3} - 12x^{2}=0 \]

temos que a derivada se anula em $x=0$ e $x=1$.

Logo os candidatos a pontos de extremos são $-1,0,1,2$.

Calculando o valor da função nesses pontos temos:

\[ \begin{aligned} f(-1)=& -1\\ f(0)=& -8\\ f(1)=& -9\\ f(2)&= 8& \end{aligned} \]

Logo, $x=2$ é o ponto de máximo e $x=1$ é o ponto de mínimo.

Exercício. Um fazendeiro deseja construir um curral e possui 500m de cerca linear. O local onde deseja construir o curral faz divisa com um edifício e assim não será necessário qualquer cerca neste lado. Quais são as dimensões do curral que vai encerrar a maior área.

Exercício. Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio $R$.

cilindroesfera

Resolução

O volume do cilindro é dado por

(12)
\[ V=\pi r^2h \]

e por Pitágoras temos a seguinte relação entre o raio e a altura:

(13)
\[ r^2+(h/2)^2=R^2 \]

Logo a expressão do volume em função da altura é

(14)
\[ V(h)=\pi h (R^2-(h/2)^2)=-((h^3 \pi)/4) + h \pi R^2 \]

Como o cilindro está contido na esfera, temos que os valores de $h$ estão no intervalo $[0,R]$. Assim, temos um problema de extremos em um intervalo fechado, e consequentemente temos a existência de um máximo. Esse máximo ocorrerá ou nos pontos extremos do intervalo ou nos pontos críticos.

Como $V(h)$ é diferenciável, os pontos críticos são os pontos de derivada iguais a 0. Derivando

(15)
\[ V'(h)=-((h^2 \pi)/2) + \pi (-(h^2/4) + R^2) \]

Resolvendo $V'(h)=0$ temos:

(16)
\[ h=\dfrac{2 R}{\sqrt{3}} \]

Como

(17)
\[ r^2+(h/2)^2=R^2 \]

temos que

(18)
\[ r= \sqrt{\dfrac{2}{3}} R \]

e assim

(19)
\[ \dfrac{h}{r}=\sqrt{2} \]

Teorema do Valor Médio

Sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Pergunta-se se uma função cuja derivada seja sempre zero é constante. Ou, em outras palavras, se um corpo tem velocidade instantânea zero no intervalo de tempo dado por um intervalo, este encontra-se em repouso?

Para responder perguntas deste tipo devemos aprender a extrair informação de uma função a partir da informação dada pela derivada da função. Informalmente, devemos utilizar a informação que a derivada nos da sobre o comportamento local da função para extrair informação sobre o comportamento global desta.

O objetivo desta seção é, dada uma função $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, encontrar condições sob as quais exista um ponto $c \in (a,b)$ tal que

(20)
\[ f^{\prime}(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}. \]

Intuitivamente, a equação acima nos diz que existe um instante de tempo $c$ no qual a velocidade instantânea de um objeto (informação local) é igual à velocidade média do objeto no intervalo de tempo $[a,b]$ (informação global).

Começamos com um caso especial do Teorema do Valor Médio conhecido como teorema de Rolle.

Teorema [Teorema de Rolle].
Seja $f$ uma função contí nua no intervalo fechado $[a,b]$, diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$ satisfazendo $f(a) = f(b)$.

Então, existe $c \in (a,b)$ tal que $f^{\prime}(c) = 0$.

\scalebox{0.7}{ \begin{pspicture}(-.75,0)(4,4) \psset{algebraic, arrowscale=1.5,xunit=1.2cm} \psaxes[linewidth=.6pt,labels=none,ticks=none]{->}(-.75,0)(4,4) \psplot[linecolor=vermelho]{0}{3.1416}{2+sin(2*x)} \psline[linewidth=.6pt,linestyle=dashed,dash=3pt](0,0)(0,2) \psline[linewidth=.6pt,linestyle=dashed,dash=3pt](.78,0)(.78,3) \psline[linewidth=.6pt,linestyle=dashed,dash=3pt](3.1416,0)(3.1416,2) \psline[linewidth=.5pt](0,3)(3,3) \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=3pt](0,2)(3.1416,2) \uput[u](.78,3){\scalefont{.8}$f'(c)=0$} \uput[d](0,0){\scalefont{.8}$a$} \uput[d](.78,0){\scalefont{.8}$c$} \uput[d](3.1416,0){\scalefont{.8}$b$} \uput[l](2.6,2.45){\scalefont{.7}$y=f(x)$} \end{pspicture}}

Demonstração. Como $ f $ é contínua em $\left[a, b \right]$, temos que $ f $ atinge um máximo $ M $ em $ x_1 \in \left[a, b \right] $ e um mínimos $ m $, em algum $ x_2 \in \left[a, b \right] $.

Suponha $ x_1 $ e $x_2 $ são ambos pontos finais de $ \left[a, b \right] $. Como $ f \left({a} \right) = f \left({b} \right) $ temos que e $ m = M $ e assim $ f $ é constante em $ \left[a, b \right] $. Consequentemente $ f^{\prime} \left({ x_i} \right) = 0 $ para todo $ x_i \in \left(a, b \right) $.

Suponha $ x_1 $ não é um ponto final de $ \left[a, b \right]$. Então $ x_1 \in \left(a, b \right) $ e $ f $ tem um máximo local em $ x_1$ . E o resultado segue a partir do fato que a derivada num ponto de máximo ou mínimo é zero.

Da mesma forma, suponha $x_2 $ não é um ponto final de $\left[a, b \right] $. Então $x_2 \in \left(a, b \right) $ e $ f $ tem um mínimo local em $ x_2. $

E o resultado segue a partir do fato que a derivada num ponto de máximo ou mínimo é zero.

Exercício. Mostre que $x^3 - x$ possui uma raiz em $[-1,1]$.

Teorema [Teorema do Valor Médio].
Seja $f$ uma função continua no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciável no intervalo aberto $(a,b)$. Então, existe $c \in (a,b)$ tal que

(21)
\[ f^{\prime}(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}. \]
\scalebox{0.6}{ \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4,4) \psset{arrowscale=1.4,algebraic,unit=2cm} \psaxes[linewidth=.6pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.25,-.25)(3.5,2) \psplot[linecolor=vermelho]{.25}{3.25}{-1.12+2.6*x - 0.6*x^2} \psline[linewidth=.5pt](1,0)(1,.88) \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt](2,0)(2,1.68) \psline[linewidth=.5pt](3,0)(3,1.28) \psplot[linewidth=.5pt]{.5}{3.25}{1.28+.2*x} \psline[linewidth=.5pt](1,.88)(3,1.28) \psline[linewidth=.5pt](1,.88)(3,.88) \uput[l](1,.88){\scalefont{.7}$(a,f(a))$} \uput[r](3,1.28){\scalefont{.7}$(b,f(b))$} \uput[d](1,0){\scalefont{.8}$a$} \uput[d](2,0){\scalefont{.8}$c$} \uput[ul](2.1,1.68){\scalefont{.7}$(c,f(c))$} \uput[d](3,0){\scalefont{.8}$b$} \psarc[linewidth=.5pt](1,.88){.8}{0}{11.3} \uput[r](3,.8){\scalefont{.8}$\tg(\alpha)=\dis \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$} \uput[dr](2.5,1.85){\scalefont{.7}$y=f(c)+f'(c)(x-c)$} \rput(1.6,.935){\scalefont{.7}$\alpha$} \end{pspicture}}

Demonstração

A equação da reta que passa pelos pontos $(a,f(a)) $ e $(b,f(b)) $ é dada por

(22)
\[ y - f(a) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} ( x- a). \]

Definamos a função auxiliar

(23)
\[ h(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} ( x- a). \]

Começamos observando que $h(x) $ é contínua em $[a,b]$ pois é soma da função contínua $f$ e um polinômio de grau 1. Analogamente, temos que a função $ h(x) $ é diferenciável em $(a,b).$

Finalmente é imediato da definição de $h$ que $h(a) = h(b) = 0. $

Logo, pelo teorema de Rolle existe $ c \in (a,b)$ tal que $ h'(c) = 0. $ Portanto,

(24)
\[ 0 = h'(c) = f'(c) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} \quad \Longrightarrow \quad f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}. \]

Teorema [Teorema do Valor Médio de Cauchy ou do Valor Médio Generalizado].
Sejam $f$ e $g$ funções continuas no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciáveis no intervalo aberto $(a,b)$. Então, existe $c \in (a,b)$ tal que

(25)
\[ \dfrac{g(b) - g(a)}{b-a} . f^{\prime}(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a} . g^{\prime}(c) . \]

Demonstração. O resultado pode ser demonstrado utilizando o Teorema do valor Médio para a função

(26)
\[ h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x) \]

E observando que

\[ \begin{aligned} h(a)=&[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)\\ =&f(b)g(a)-g(b)f(a)\\ =&[f(b)-f(a)]g(b)-[g(b)-g(a)]f(b)\\ =&h(b) \end{aligned} \]

e assim $h'(c)=0$ para algum ponto $c\in (a,b)$. Diferenciando $h$ o resultado segue..

Teorema [Teorema do Valor Médio de Cauchy Generalizado] .
Sejam $f,g$ funções definidas num intervalo fechado $[a,b]$ que são $n$-vezes diferenciáveis em $(a,b)$ e cujas primeiras $n-1$ derivadas são contínuas em $[a,b]$. Suponha $c\in [a,b]$. Então para cada $x\neq c$ in $[a,b]$ existe $x_1$ no intervalo $c$ e $x_1$ tal que

\[ \scriptstyle \left(f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\right) g^{(n)}(x_1)= \]
\[ f^{(n)}(x_1)\left(g(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{g^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\right) \]

Demonstração

Por simplicidade assumiremos $c<b$ e $x>c$. Com $x$ fixo considere

\[ F(t)=f(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \]
\[ G(t)=g(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{g^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \]

para cada $t\in[c,x]$. Então $F,G$ são contínuas em $[c,x]$ e deriváveis em $(c,x)$. Pelo Teorema do Valor Médio

\[ F'(x_1)[G(x)-G(c)]=G'(x_1)[F(x)-F(c)] \]

para $x_1\in (c,x)$.

Logo

\[ F'(x_1)[g(x)-G(c)]=G'(x_1)[f(x)-F(c)] \]

pois $F(x)=f(x),G(x)=g(x)$. Simplificando os termos de sinais opostos temos que

\[ F'(t)=\dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(t) \]
\[ G'(t)=\dfrac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}g^{(n)}(t) \]

que fornece a fórmula desejada quando $t=x_1$.

Consequências do Teorema do Valor Médio

Teorema 8.
Se $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x \in (a,b)$, então $f$ é constante no intervalo $[a,b]$.

Demonstração. Sejam $x_1$ e $x_2$ $\in (a,b)$, com $x_1<x_2.$ Como $f^{\prime}(x)=0$ em $(a,b)$ temos que $f$ é continua no intervalo $[x_1,x_2]$ e diferenciável em $(x_1,x_2)$.

Aplicando o Teorema do Valor Médio, temos que existe $c \in (x_1,x_2)$ tal que

(27)
\[ f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)\ \]
Como $f'(x)=0$ para todo $x$, temos que $f'(c)=0$ e assim

Begin Equation

f(x_2)=f(x_1)

~ End Equation

O teorema acima responde de forma explícita e positiva a pergunta feita ao começo desta seção: um corpo cuja velocidade instantânea é zero no intervalo de tempo dado encontra-se em repouso.

Corolário. Sejam $f$ e $g$ funções continuas no intervalo fechado $[a,b]$ e diferenciáveis no intervalo aberto $(a,b)$ tal que $f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x)$ para todo $x \in (a,b)$. Então, existe $K \in \mathbb{R}$ tal que

(28)
\[ f(x) = g(x) + K \]

para todo $x \in [a,b]$.

Demonstração. Considere a função $F(x)=f(x)-g(x)$. Então $F'(x)=f'(x)-g'(x)=0$ para todo $x$ em $(a,b)$. E logo $f-g$ é constante.

No corolário acima, é fundamental que o domínio de $f$ seja um intervalo para que o resultado seja válido. Um contra-exemplo é a função $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ pois $f'(x)=0$ em todo ponto do domínio mas a função $f$ não é constante. Isso ocorre pois o domínio de $f$ não é um intervalo.

Exercício. Mostre que $\arcsen x+ \arccos x =\pi/2$.

Resolução.

Calculando a derivada de $\arcsen x+ \arccos x$ temos:

(29)
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0 \]

Logo

(30)
\[ \arcsen x+ \arccos x=K \]

em $x=0$ temos

(31)
\[ \arcsen 0+ \arccos 0=K \]

e logo $K=\dfrac{\pi}{2}.$

Funções Crescentes e Decrescentes

Definição 4.
Uma função $f$ é crescente no intervalo dado $I$ se para quaisquer par $a,b \in I$ com $a < b$ tem-se que $f(a) < f(b)$. A função $f$ é decrescente em $I$ se para quaisquer $a,b \in I$ com $a < b$ tem-se que $f(a) > f(b)$.

O seguinte resultado nos da um critério utilizando o sinal da derivada da função para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento desta.

Proposição. Seja $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ e seja $I \subset D$ um intervalo. Se $f^{\prime}(x) > 0$ para todo $x \in I$, então $f$ é crescente em $I$.

Por outro lado, se $f^{\prime}(x) < 0$ para todo $x \in I$, então $f$ é decrescente em $I$.

Demonstração. Aplicando o Teorema do Valor Médio a $f$ em $ [x_1,x_2] ,$ existe um $c \in (x_1,x_2)$ tal que

(32)
\[ f(x_2) -f(x_1) = f'(c) (x_2 - x_1) . \]

Como $f'(c) > 0 $ e $ x_2 - x_1 > 0 $ devemos ter que $ f(x_2)-f(x_1) > 0 $ ou seja, $f(x_1) < f(x_2) .$ Logo $ f $ é crescente.

A prova do outro caso é análoga.

Exercício. Determine os pontos para os quais $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x -1$ é crescente e decrescente. Utilizando essa informação esboce o gráfico.

Resolução. Seja $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + 2x -1$, então $f^{\prime}(x) = x^2 -3x + 2 = (x-1) (x-2)$. Como $f^{\prime}$ é positiva em $\left(-\infty, 1\right)\cup \left(2, \infty \right)$ e $f^{\prime}$ é negativa em $(1,2)$ podemos concluir pelo corolário anterior que a função $f$ é

  • crescente em $\left(-\infty, 1 \right) \cup \left(2, \infty \right)$

  • decrescente em $(1,2)$.

Exercício. Determine os pontos para os quais $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-1}$ é crescente e decrescente.

Resolução. A função não está definida em $x=-1$ e $x=1$

A derivada de $f$ é:

(33)
\[ f'(x)=\frac{2x}{(x^2-1)^4} \]

Como o denominador é sempre positivo, e o numerador é positivo em $(0,\infty)$.

Assim a derivada é positiva $(0,\infty)$. De modo similar, podemos concluir que a derivada é negativa em $(-\infty,0)$.

Ou seja:

  • crescente em $(0,\infty)$

  • decrescente em $(-\infty,0)$.

Teste da derivada primeira para a determinação de máximos e mínimos

Utilizando apenas a informação da derivada primeira é possível determinar se um determinado ponto crítico de uma função $f$ é:

  • um ponto de máximo local,
  • um ponto de mínimo local
  • nem ponto de máximo nem ponto de mínimo local.

Teorema 9.
Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função diferenciável e seja $x \in I$ um ponto crítico de $f$. Então,

  • Se $f^{\prime} > 0$ no intervalo $(x-\eps,x)$ à esquerda de $x$ e se $f^{\prime} < 0$ no intervalo $(x,x+\eps)$ à direita de $x$, então $x$ é um ponto de máximo local.

  • Se $f^{\prime} < 0$ no intervalo $(x-\eps,x)$ à esquerda de $x$ e se $f^{\prime} > 0$ no intervalo $(x,x+\eps)$ à direita de $x$, então $x$ é um ponto de mínimo local.

  • Se $f^{\prime}$ tem o mesmo sinal no intervalo $(x-\eps,x)$ à esquerda de $x$ e no intervalo $(x,x+\eps)$ à direita de $x$, então $x$ não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo local.

Exercício. Ache os máximos e mínimos locais de $f(x)=x^{1/3}(8-x)$

Concavidade

Uma função $f$é côncava para cima no intervalo dado $I$ se para quaisquer par de pontos $a,b \in I$, o segmento que conecta $(a,f(a))$ com $(b,f(b))$ estiver acima do gráfico de $f$.

De modo análogo, uma função $f$ é dita côncava para baixo no intervalo dado $I$ se para quaisquer par de pontos $a,b \in I$, o segmento que conecta $(a,f(a))$ com $(b,f(b))$ estiver abaixo do gráfico de $f$. Mais formalmente,

Definição 5.
Uma função $f$ é dita côncava para cima no intervalo $I$ se para quaisquer terna de pontos $a,x,b \in I$ com $a < x < b$ temos que

(34)
\[ \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} < \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}. \]

Definição 6.
Uma função $f$ é côncava para baixo no intervalo $I$ se para quaisquer terna de pontos $a,x,b \in I$ com $a < x < b$ temos que

(35)
\[ \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} > \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}. \]
\scalebox{0.7}{ \begin{pspicture}(-3,-1)(3,3) \psset{xunit=.75cm,labelsep=2pt,arrowscale=1.4,algebraic} \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none]{->}(-3,-1)(-3,-1)(3,3) %\parabola(-3,0)(0,2.5) \psplot[linecolor=vermelho, linewidth=1pt]{-1.5}{3}{2.5-0.277*x^2} \psline[linewidth=.5pt](-1,2.22)(2.5,0.76) \uput[d](-1,-1){\scalefont{.8}$x$} \uput[d](2.5,-1){\scalefont{.8}$y$} \uput[d](.75,-1){\scalefont{.7}$tx+(1-t)y$} \qdisk(.75,1.49){1.2pt} \qdisk(.75,-1){1.2pt} \uput[ur](.75,2.34){\scalefont{.7}$f(tx+(1-t)y)$} \uput[l](.7,1.44){\scalefont{.7}$tf(x)+(1-t)f(y)$} \qdisk(.75,2.34){1.2pt} \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](-1,-1)(-1,2.22) \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](2.5,-1)(2.5,0.76) \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](.75,-1)(.75,2.34) \end{pspicture}} \scalebox{0.7}{ \begin{pspicture}(-3,-1)(3,3) \psset{xunit=.75cm,labelsep=2pt,arrowscale=1.4,algebraic} \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none]{->}(-3,-1)(-3,-1)(3,3) \psplot[linecolor=vermelho, linewidth=1pt]{-1.5}{3}{0.2777*x^2} \psline[linewidth=.5pt](-1,.277)(2.5,1.736) \uput[d](-1,-1){\scalefont{.8}$x$} \uput[d](2.5,-1){\scalefont{.8}$y$} \uput[d](.75,-1){\scalefont{.7}$tx+(1-t)y$} \qdisk(.75,1){1.2pt} \qdisk(.75,-1){1.2pt} \uput[r](.8,0.156){\scalefont{.7}$f(tx+(1-t)y)$} \uput[l](.7,1.05){\scalefont{.7}$tf(x)+(1-t)f(y)$} \qdisk(.75,0.156){1.2pt} \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](-1,-1)(-1,.277) \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](2.5,-1)(2.5,1.736) \psline[linewidth=.4pt,linestyle=dashed,dash=2pt](.75,-1)(.75,1) \end{pspicture}}

Teorema 10.
[Teste da Concavidade]

  • Se $f^{\prime \prime} > 0$ no intervalo $I$, então $f$ é côncava para cima em $I.$
  • Se $f^{\prime \prime} < 0$ no intervalo $I$, então $f$ é côncava em $I$.

Demonstração

Dados $x, y\in [a,b]$ com $x<y$. Seja $t\in ]0,1[$ e façamos $z=t x+(1-t)y$. Temos que provar que $f(z)\le tf(x)+(1-t)f(y)$. Como $f(z)=tf(z)+(1-t)f(z)$, a desigualde anterior pode ser escrita como:

(36)
\[ tf(z)+(1-t)f(z)\le tf(x)+(1-t)f(y)\quad\Longleftrightarrow \]
(37)
\[ \quad (1-t)\big(f(z)-f(x)\big)\le t\big(f(y)-f(z)\big) \]

Aplicando o TVM nos intervalos $[x,z]$ y $[z,y]$, obtemos pontos $c\in (x,z)$, $d\in (z,y)$ satisfazendo

(38)
\[f(z)-f(x)=f'(c)(z-x),\qquad f(y)-f(z)=f'(d)(y-z) \]

Como por hipotese $f'$ é crescente, temos que $f'(c)\le f'(d)$, e como $(1-t)(z-x)=t(y-z)$, segue que:

\[(1-t)\big(f(z)-f(x)\big)=(1-t)f'(c)(z-x)\le tf'(d)(y-z) \]
\[= t\big(f(y)-f(z)\big) \]
\begin{tikzpicture}[scale=.9] \draw [thick, ocre] (-2.5,.5) arc (180:90:2); \draw [thick, ocre] (2.5,.5) arc (0:90:2); \draw [thick, ocre] (-2.5,-.5) arc (180:270:2); \draw [thick, ocre] (2.5,-.5) arc (0:-90:2); \draw (-1,1.25) node [] {\tiny \parbox{50pt}{$f'>0$, crescente \vskip 3pt $f''<0$, c. baixo}}; \draw (1.4,1.25) node [] {\tiny \parbox{50pt}{$f'<0$, decrescente \vskip 3pt $f''<0$, c. baixo}}; \draw (-1,-1.25) node [] {\tiny \parbox{50pt}{$f'<0$, decrescente \vskip 3pt $f''>0$, c. cima}}; \draw (1.4,-1.25) node [] {\tiny \parbox{50pt}{$f'>0$, crescente \vskip 3pt $f''>0$, c. cima}}; \end{tikzpicture}

Figura 4. As 4 maneiras que concavidade interage com o crescimento/decrescimento

Exercício. Estude a concavidade de $ f(x) = e^{-\dfrac{x^2}{2}}$ e esboce o gráfico.

Resolução. Começamos calculando as duas primeiras derivadas $ f'(x) = - x e^{-\dfrac{x^2}{2}} $ e $ f''(x) = (x^2-1)e^{-\dfrac{x^2}{2}}$.

Como $ e^{-\dfrac{x^2}{2}} > 0 $ para todo $x,$ o sinal de $f''$ é dado pelo sinal de $ x^2-1. $ Portanto,

  • $ f''(x) > 0$ em $ (-\infty, -1) $ e $ (1, + \infty)\Rightarrow f $ é côncava para cima em $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) ,$
  • $ f''(x) < 0 $ em $ (-1,1) \Rightarrow f $ é côncava para baixo em $ (-1,1).$

Pontos de inflexão

Um ponto $p$ é um ponto de inflexão de $f$ se $ p $ é um ponto no qual a concavidade da função muda.

Definição 7.
Seja $f$ uma função contínua em ,$p\in D_f$,. Diremos que ,$p$, é ponto de inflexão de $f$ se $f$ é côncava para baixo em $(p-\eps,p)$ e $f$ é côncava para cima em $(p,p+\eps)$, ou se $f$ é côncava para cima em $(p-\eps,p)$ e $f$ é côncava para baixo em $(p,p+\eps)$.

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=\marginparwidth+25pt,% tick label style={font=\scriptsize},axis y line=middle,axis x line=middle,name=myplot,% %x=.37\marginparwidth, %y=.37\marginparwidth, xtick={1,2,3,4},% % extra x ticks={.33}, % extra x tick labels={$1/3$}, %ytick={1}, %minor y tick num=1,%extra y ticks={-5,-3,...,7},% ymin=-1,ymax=16,% xmin=-.5,xmax=4.5% ] \addplot [thick, ocre,smooth,domain=.5:4.5] {2*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+5}; \filldraw (axis cs:1.85,4.39) circle (1pt); \filldraw (axis cs:3.15,4.39) circle (1pt); \draw (axis cs:1.5,8) node {\tiny \parbox{30pt}{\centering$f''>0$ \vskip 2pt c. cima}}; \draw (axis cs:3.5,8) node {\tiny \parbox{30pt}{\centering$f''>0$ \vskip 2pt c. cima}}; \draw (axis cs:2.5,4) node {\tiny \parbox{30pt}{\centering$f''<0$ \vskip 2pt c. baixo}}; \end{axis} \node [right] at (myplot.right of origin) {\scriptsize $x$}; \node [above] at (myplot.above origin) {\scriptsize $y$}; \end{tikzpicture}

Figura 5. Pontos de Inflexão

Teorema 11.
Seja $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ e $a, b,c \in I$ tal que $a \in (b,c) \subset I$. Se o sinal de $f^{\prime \prime}$ em $(b,a)$for diferente do sinal de $f^{\prime \prime}$ em $(a,c)$ então $a$ é um ponto de inflexão de $f$.

Exercício. Mostre que $f(x)=x^n$ possui um ponto de inflexão na origem se $n$ for ímpar.

Teste da derivada segunda para a determinação de máximos e mínimos

Se a função analisada for duas vezes diferenciáveis há critérios bem simples para a determinação de máximos e mínimos locais. Seja $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ uma função dada.

Teorema 12.
Assuma que $f^{\prime}(a)=0$.

  • Se $f^{\prime \prime}(a) > 0$, então $f$ tem um ponto de mínimo local em $a$
  • Se $f^{\prime \prime}(a) < 0$, então $f$ tem um ponto de máximo local em $a$.

Suponha que $f''(x) > 0$. Por hipotese temos que $f'(x) = 0$. Assim

\[0 < f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \]
\[\lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)}{h}. \]

Logo, para $h$ suficientemente pequeno temos que

\[\frac{f'(x+h)}{h} > 0 \]

O que implica que $f'(x+h) < 0$ if $h < 0$ e que $f'(x+h) > 0$ se $h > 0$. Logo pelo teste da derivada primeira $f$ tem um máximo local em $x$.

A demonstração do caso no qual $f''(x) < 0$ é analoga

Exercício. Determine os pontos críticos da função $f$ e classifique-os (pontos máximo, mínimo local) sendo

(39)
\[ a) \quad \ f(x) = \dis\dfrac{x^4}{4} - x^3 - 2x^2+3;\qquad b) f(x)=x^2e^{-5x}. \]

Resolução.

  1. Como $f'(x) = x^3 - 3 x^2 - 4 x = x(x^2-3x-4).$ temos que $x = -1,\, x=0 $ e $ x=4$ são os pontos críticos de $f.$ Como $f''(-1) = 5, \, f''(0) = -4 $ e $ f''(4) = 20 $ concluímos que $ 0$ é ponto de máximo e $ -1 $ e $4$ são pontos de mínimo.

  2. $x=0 $ é ponto de máximo e $ x = \dfrac{2}{5} $ é ponto de mínimo.

Exercício. Seja a função $f(x)=\left( x-1\right) ^{3}+1.$ Analise seus pontos críticos.

Resolução. Temos $f'(x)=3\left( x-1\right) ^{2};$ Logo, $f'(x)=0\Longleftrightarrow x=1.$ Ainda, $f''(x)=6\left(x-1\right) =0\Longleftrightarrow x=1.$ Assim, $f'(1)=f''(1)=0$ e, neste caso, o critério falha.

Devemos então analisar a concavidade de $f$ numa vizinhança do ponto $x=1:$

$f''(x)=6\left( x-1\right) >0\Longleftrightarrow x>1$  e $ f''(x)=6\left( x-1\right) <0\Longleftrightarrow x<1$  portanto, a curva muda de concavidade no ponto $\Longrightarrow x=1$ é um ponto de inflexão.

A função $f$ não tem pontos de máximo ou mínimo locais em $\mathbb{R},$uma vez que $f'(x)=3\left( x-1\right) ^{2}>0$ para $x\neq 1,$ o que implica que $f$ é monótona crescente. Se $f$ estivesse definida num intervalo fechado $\left[ a,b\right] $ então, $f$ teria um ponto de mínimo absoluto em $x=a$ e um ponto de máximo absoluto em $x=b.$

A Regra de L'Hôpital

Uma aplicação do Teorema do valor médio generalizado permite-nos simplificar o cálculo de limites da forma

(40)
\[ \displaystyle \limitex{a} \dfrac{f(x)}{g(x)}, \]

quando $\displaystyle \limitex{a} f(x) = \displaystyle \limitex{a} g(x) = 0$.

Observação. Note que não é possível aplicar a regra do quociente para calcular este tipo de limite dado que o denominador converge a $0$ quando $x$ tende a $a$.

Teorema 13.
[Regra de L'Hôpital]. Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis no intervalo aberto $(a,b)$ tal que

(41)
\[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = 0 \text{ e } \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} g(x) = 0. \nonumber \]

Suponha, também, que $g^{\prime}(x) \neq 0$ para todo $x \in (a,b)$. Se $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ existe, então

(42)
\[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} \dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}. \]

Demonstração. A partir da diferenciabilidade de $f$ e $g$ o Teorema do Valor Médio de Cauchy garante que para quaisquer dois pontos distintos x e $y$ em $I$ existe um $\xi$ entre $x$ e $y$ tal que

(43)
\[ \dfrac{f (x) -f (y)}{g (x) -g (y)} = \dfrac{f '(\xi) }{ g ''(\xi)} \]

Então como $f \left({a}\right) = g \left({a}\right) = 0$:

(44)
\[ \displaystyle \exists \xi \in \left({a \,.\,.\, x}\right): \dfrac {f' \left({\xi}\right)} {g' \left({\xi}\right)} = \dfrac {f \left({x}\right)} {g \left({x}\right)} \]

O $\xi$ depende de $x$ e $\xi \to a$ quando $x \to a$.

Além disso, $\xi \ne a$ quando $x > a$.

E assim

(45)
\[ \displaystyle \lim_{x \mathop \to a^+} \dfrac {f' \left({\xi}\right)} {g' \left({\xi}\right)} = \lim_{x \mathop \to a^+} \dfrac {f' \left({x}\right)} {g' \left({x}\right)} \]

Observação. A regra de L'Hopital pode ser generalizada para os limites $x\to p^+$,,  $x\to p^-$,, $x\to +\infty$  ou  $x\to -\infty$,.

E para a indeterminação da forma $\dfrac{\infty}{\infty}$, ou seja para o caso:

(46)
\[ \dis\lim_{x\to p} f(x)= +\infty=\dis\lim_{x\to p} g(x) \]

Para podermos aplicar a regra de L'Hôpital no caso em que $x \rightarrow a$, as funções envolvidas devem ser diferenciáveis no intervalo aberto contendo o ponto $a$ (exceto, tal vez, no próprio ponto $a$).

Isto sempre deve ser verificado!!

Exercício. Calcule $\dis \lim_{x\to 0}\dfrac{1-e^{2x}}{x}$.

Resolução. Como $ \dis \lim_{x\to 0} 1- e^{2x} = 0 $ e $ \dis\lim_{x\to0} x = 0 $ pela Regra de L'Hopital,

(47)
\[ \lim_{x\to 0} \dfrac{1-e^{2x}}{x}= \lim_{x\to 0} \dfrac{(1-e^{2x})'}{x'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{-2e^{2x}}{1} = -2. \]

Exercício. Calcule $\dis \lim_{x\to 0}\dfrac{\sen x}{x}$.

Resolução. Como $ \dis \lim_{x\to 0} \sen x = 0 $ e $\dis\lim_{x\to 0} x = 0 $ pela Regra de L'Hopital,

(48)
\[ \lim_{x\to 0} \dfrac{\sen x}{x}= \lim_{x\to 0} \dfrac{(\sen x)'}{x'} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x}{1} = 1. \]

Exercício. Calcule $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^2 + 2x}{\sin \left(x\right)}$ se existir.

Resolução.

Note que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x^2+ 2x = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \sin \left(x\right) = 0$ e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital.

(49)
\[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^2+ 2x}{\sin \left(x\right)} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{2 x + 2}{\cos \left(x\right)} = 2. \]

Exercício. Calcule $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos\left(x\right)}{x\sin \left(x\right)}$ se existir.

Resolução. Note que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} 1-\cos\left(x\right) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} x \sin \left(x\right) = 0$ e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital.

(50)
\[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos\left(x\right)}{x\sin \left(x\right)} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(x\right) + x \cos \left(x\right)}. \]

Note que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \sin\left(x\right) = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \sin\left(x\right) + x \cos \left(x\right) = 0$ e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.

\[ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(x\right) + x \cos \left(x\right)} =& \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos\left(x\right)} {2 . \cos\left(x\right) - x \sin \left(x\right)} \nonumber \\ =& \dfrac{1}{2}. \nonumber \end{aligned} \]

Portanto podemos concluir que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos\left(x\right)}{x\sin \left(x\right)} = \dfrac{1}{2}$.

Exercício. Calcule $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1 - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$ se existir.

indeterminacaoz

Resolução. Observe que $1 - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$ e que $\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ são diferenciáveis para todo $x > 0$ e que ambas funções convergem para $0$ quando $x\rightarrow\infty$. Logo, temos que

\[ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1 - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)} =& \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^{-2} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{-2} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)} \nonumber \\ =& \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)} \nonumber \\ =& \dfrac{\sin\left(0\right)}{\cos\left(0\right)} \nonumber \\ =& 0. \nonumber \end{aligned} \]

Diferenças e Produtos Indeterminados

No caso de produtos indeterminados utilizamos que $fg=f/1/g$ para transformar o produto em quociente. Essa estratégia é ilustrada nos exemplos a seguir.

Exercício. Calcule

(51)
\[ \limitex{0+}x\ln x \]

indeterminacaoxlnx

Resolução.

(52)
\[ \limitex{0+}x\ln x= \limitex{0+}\dfrac{\ln x}{1/x}= \]

Utilizando L'Hopital temos

\[ \begin{aligned} \limitex{0+}\dfrac{\ln x}{1/x}=&\limitex{0+}\dfrac{1/x}{-1/x^2}\\ =&\limitex{0+}\dfrac{-x^2}{x}\\ =&\limitex{0+} -x=0 \end{aligned} \]

Exercício. Calcule

(53)
\[ \limitex{-\infty}x e^x \]

indeterminacaoxex

Resolução.

(54)
\[ \limitex{-\infty}x e^x= \limitex{-\infty}\dfrac{x}{e^{-x}} \]

Utilizando L'Hopital temos

(55)
\[ \limitex{-\infty}\dfrac{x}{e^{-x}}= \limitex{-\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0 \]

No caso de diferenças temos que manipular a expressão de modo a convertê-la num quociente ou num produto indeterminado:

Exercício. Calcule

(56)
\[ \limitex{0+} \left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{\sen x} \right) \]

Resolução.

(57)
\[ \limitex{0+} \dfrac{1}{x^2}\left(1-\dfrac{x^2}{\sen x} \right) \]

e

(58)
\[ \limitex{0+} \dfrac{x^2}{\sen x} =0 \]

Exercício. Calcule

(59)
\[ \limitex{\infty} x \sin \dfrac{1}{x} \]

sin1sobrex

Resolução.

\[ \begin{aligned} \limitex{\infty} x \sin \dfrac{1}{x} & = \limitex{\infty} \dfrac{\sin \dfrac{1}{x}}{1/x} \\ & = \limitex{\infty} \dfrac{-x^{-2}\cos\dfrac{1}{x}}{-x^{-2}} \\ & = \limitex{\infty} \cos\dfrac{1}{x} \\ & = \cos{\left(\limitex{\infty} \dfrac{1}{x} \right)} \\ & = 1. \end{aligned} \]

Potência Indeterminadas

Quando temos uma forma indeterminada que envolve uma potência, ou seja formas indeterminadas da forma $0^0$, $1^\infty$ e $\infty^0$, em geral a estratégia a ser utilizada é aplicar o logaritmo natural:

se $\dis \lim_{x\to c} \ln\big(f(x)\big) = L$, então

\[ \dis \lim_{x\to c} f(x) = \lim_{x\to c} e^{\ln(f(x))} = e\,^L. \]

Exercício. Calcule

(60)
\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x \]

limfundamental

Resolução Temos uma forma indeterminada do tipo $1^\infty$. Seja $f(x) = (1+1/x)^x$. Desta forma queremos calcular $\dis\lim_{x\to\infty}f(x)$. Começaremos calculando $\dis \lim_{x\to\infty}\ln\big(f(x)\big)$.

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\ln\big(f(x)\big) & = \lim_{x\to\infty} \ln \left(1+\dfrac1x\right)^x \\ &= \lim_{x\to\infty} x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\\ &= \lim_{x\to\infty} \dfrac{\ln\left(1+\dfrac1x\right)}{1/x}\\ &= \lim_{x\to\infty} \dfrac{\dfrac{1}{1+1/x}\cdot(-1/x^2)}{(-1/x^2)} \\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} &= \lim_{x\to\infty} \dfrac{\dfrac{1}{1+1/x}\cdot(-1/x^2)}{(-1/x^2)} \\ &= \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{1+1/x}\\ &= 1. \end{aligned} \]

Logo $\dis\lim_{x\to\infty} \ln \big(f(x)\big) = 1.$ Voltando ao limite original

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x = \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}e^{\ln (f(x))} = e^1 = e. \]

Exercício.

(61)
\[ \lim_{x\to0^+} x^x. \]

xelevadoax

Resolução. Temos uma forma indeterminada do tipo $0^0$. Seja $f(x) = x^x$. Começaremos calculando $\dis\lim_{x\to0^+} \ln\big(f(x)\big)$.

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to0^+} \ln\big(f(x)\big) &= \lim_{x\to0^+} \ln\left(x^x\right) \\ &= \lim_{x\to0^+} x\ln x \\ &= \lim_{x\to0^+} \dfrac{\ln x}{1/x}.\\ &= \lim_{x\to0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \\ &= \lim_{x\to0^+} -x \\ &= 0. \end{aligned} \]

Logo $\dis\lim_{x\to0^+} \ln\big(f(x)\big) =0$. Voltando ao limite original

\[ \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} e^{\ln(f(x))} = e^0 = 1. \]

Assíntotas

Definição 8.
A reta $x=a$ é uma assíntota vertical de uma função $f$ se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

\[ \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = \infty & \ \ \ & \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = \infty \nonumber \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = -\infty & \ \ \ & \displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = -\infty \nonumber \end{aligned} \]

Exercício. A reta $ x = 3 $ é assíntota vertical de $f(x) =\dfrac{2}{x-3}.$

Definição 9.
A reta $ y = L $ é chamada de assíntota horizontal para uma função $ f$ se

(62)
\[ \lim_{x \to+\infty} f(x) = L \qquad \textrm{ ou } \qquad \lim_{x \to-\infty} f(x) = L \]

Exercício. A reta $ y = 1 $ é assíntota horizontal de $f(x) =\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.$

Assíntotas Inclinadas

Definição 10.
Seja $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ uma função qualquer. Se existem $a, b \in \mathbb{R}$ tais que

(63)
\[ \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left(f(x)-\left(ax+b\right)\right) = 0 \]

dizemos que a reta $y(x) = ax +b$ é uma assíntota inclinada à função $f$. Se $a = 0$ dizemos que $y(x)=b$ é uma assíntota horizontal à função $f$.

Como encontrar $a$ e $b$?

O coeficiente $a$ é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.

(64)
\[ a = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{f(x)}{x}. \]

Uma vez encontrado o valor de $a$ podemos utiliza-lo para encontrar o valor de $b$. O coeficiente $b$ é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.

(65)
\[ b = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \left(f(x)- ax\right) = 0. \]

Exercício. Determine as assíntotas de $f(x) =\sqrt{9x^2+x+1} $ e esboce o gráfico.

Resolução

Antes de calcular os limites, faremos algumas simplificações

\[ \begin{aligned} \dfrac{f(x)}{x} &= \dfrac {|x| \sqrt{9+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}}{x}\\ &= \left \{ \begin{array}{ll} \sqrt{9+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} & \textrm{ se } x > 0 \\ -\sqrt{9+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} & \textrm{ se } x < 0.\end{array} \right. \end{aligned} \]

Primeiramente observamos que $ \dis \lim_{x \to+ \infty } \dfrac{f(x)}{x} = 3 $ e $\dis \lim_{x \to-\infty } \dfrac{f(x)}{x} =- 3 .$ Assim $ a = 3 $ para $ x \to+ \infty $ e $ a =-2 $ para $ x \to-\infty.$

Determinemos agora $ b .$

(66)
\[ \lim_{x \to+ \infty} [\sqrt{9x^2+x+1} - 3x] = \lim_{x \to+ \infty} \dfrac{x+1}{\sqrt{9x^2+x+1} + 3x} = \dfrac{1}{6}. \]

Logo, $ y = 3x+\dfrac{1}{6} $ é assíntota para $ x \to+ \infty. $ Analogamente vemos que $ y = -3x - \dfrac{1}{6} $ é assíntota para $ x \to- \infty.$

assintota2

Exercício. Determine as assíntotas de $f(x)=\dis\dfrac{x^3}{x^2+1}$.

Resolução.

Como a função está definida em todos os pontos, pois $ x^2 +1 $ nunca é $0,$ não há assíntota vertical. Uma vez que $ \dis \lim_{x \to\pm \infty} f(x) = \pm\infty, $ não há assíntotas horizontais. Fazendo a divisão de polinômios obtemos

(67)
\[ \dfrac{x^3}{x^2+1} = x- \dfrac{x}{x^2+1}, \]

então

(68)
\[ \lim_{x \to\pm \infty } \dfrac{x^3}{x^2+1} - x = \lim_{x \to\pm \infty } \dfrac{x}{x^2+1} = 0. \]

Portanto, a reta $ y = x $ é uma assíntota oblíqua.

Construção de Gráficos

É possível fazer um esboço do gráfico de uma função utilizando os conceitos e resultados obtidos ao longo do curso. A seguir damos um roteiro que não pretende ser exaustivo. Isto é, o roteiro a seguir serve apenas como um guia. Porém, destacamos que cada função apresenta suas peculiaridades e seria inútil tentar gerar um algoritmo que sirva para todas as funções.

Roteiro para a construção de gráficos

Passos
1 Encontrar o domínio $\Dom f$.
2 Calcular os pontos de intersecção com os eixos.
3 Encontrar os pontos críticos e os valores críticos.
4 Determine, quando possível, se $f$ for par ou impar.
5 Determine intervalos de crescimento e decrescimento.
6 Encontre os máximos e mínimos de $f$.
7 Determine intervalos de concavidade e convexidade.
8 Determine os pontos de inflexão.
9 Encontre as assíntotas.
10 Faça o esboço do gráfico de $f$.

Observação.

  • Conhecer as simetrias da função, isto é, se a função $f$ é par ou impar ou periódica pode diminuir o trabalho a ser feito.

  • Distinga entre pontos de máximos e mínimos locais e globais.

  • Distinga entre assíntotas inclinadas, horizontais e inclinadas.

Exercício. Esboce o gráfico de $f(x) = 3x^3-10x^2+7x+5$.

Esboço do gráfico de $f(x) = 3x^3-10x^2+7x+5$

figsketch1a figsketch1b

Resolução

  • O domínio de $f$ é todos os reais; isto é $f(x)$ está definida para todo $x$.
  • Calculamos $f(0)=5$. Não calculamos as raízes pois é um polinômio de grau 3.
  • Para determinar os valores críticos de $f$ calculamos $f'(x) = 9x^2-20x+7$. Usando a fórmula de Bhaskara temos que $f'$ se anula em:
    \[x = \dfrac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4(9)(7)}}{2(9)} = \dfrac19\left(10\pm\sqrt{37}\right) \Rightarrow x\approx 0.435, 1.787. \]
  • Para determinar os pontos de inflexão de $f$ calculamos $f''(x) = 18x-20$. E logo
    \[f''(x) = 0 \Rightarrow x= 10/9 \approx 1.111. \]
  • Não existem assíntotas verticais.

  • Para determinar o comportamento assintótico para valores grandes calcularemos os limites de $x\to \pm \infty $

    \[\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty. \]

    Logo não temos assíntotas horizontais

  • Marcamos os valores $x=(10\pm\sqrt{37})/9$ e $x=10/9$ na reta real, como na figura 6. Marcamos cada subintervalo no qual seja crescente ou decrescente, concava para cima ou para baixo.

figsketchline1


Figura 6. 

* Nós colocamos os pontos apropriados no eixo como mostrado na Figura #figsketch1 e conectamos os pontos com linhas retas. Na Figura #figsketch1(b) nós ajustamos essas linhas para demonstrar a concavidade adequada. Nossa curva cruza o eixo $ $ y em y = $ 5 $ e atravessa a $ x $ eixo perto de $ x = -0.424 $. Na Figura #figsketch1 mostramos um gráfico de $ f $ desenhado com um programa de computador, verificando a precisão do nosso esboço.

~ End Resolucao

Exercício. Esboce o gráfico de $\dis f(x) = \dfrac{x^2-x-2}{x^2-x-6}$.

Resolução

  • Vamos determinar o domínio máximo de definição, para isso buscamos os pontos para os quais não podemos calcular $f$. Achamos que em $x=-2$ e $x=3$, $f(x)$ não está definida . Logo o domínio de $f$ is $\Dom = \{ x\neq -2,3\}$.

  • Para determinar os valores críticos de $f$, primeiro calculamos $f'(x)$. Usando a regra do quociente temos $f'(x) = \dfrac{-8x+4}{(x^2+x-6)^2} = \dfrac{-8x+4}{(x-3)^2(x+2)^2}.$

    $f'(x) = 0$ quando $x = 1/2$, e $f'$ não está definida quando $x=-2,3$. Como $f'$ não está definida somente quando $f$ também não está, estes não são valores críticos. O único valor crítico é $x=1/2$.

  • Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, encontramos $f''(x)$, novamente utilizando a regra do quociente:
    \[f''(x) = \dfrac{24x^2-24x+56}{(x-3)^3(x+2)^3}. \]

Nós achamos que $ f '' (x) $ nunca é 0 (igualando o numerador a 0 e resolvendo para $ x $, encontramos que as únicas raízes para esta equação quadrática são imaginárias) e $f ''$ não está definida quando $ x = -2,3 $. Assim concavidade possivelmente irá alterar somente em $ x = -2 $ e $ x = 3 $.

  • As assíntotas verticais de $ f $ estão em $ x = -2 $ e $ x = 3 $, os pontos onde $ f $ não está definida.
  • Há uma assíntota horizontal em $ y = 1 $, pois $\dis \lim_{x\to -\infty}f(x) = 1$ e $\dis\lim_{x\to\infty}f(x) =1$.

  • Colocamos os valores $x=1/2$, $x=-2$ e $x=3$ na reta real como mostrado na Figura 7. Marcamos em cada intervalo se $f$ é crescente ou decrescente, concava para cima ou para baixo. Desta forma vemos que $f$ possui um máximo local em $x=1/2$; a concavidade muda apenas nas assintotas verticais.

    figsketchline2


    Figura 7. 
  • Colocamos os pontos apropriados no eixo como mostrado na Figura #figsketch2 e conectamos os pontos com linhas retas. Na Figura #figsketch2 nós ajustamos essas linhas para demonstrar a concavidade adequada. Também mostramos que $ f $ intersepta o eixo $ x $ em $ x = -1 $ e $ x = 2 $

figsketch2b figsketch2a figsketch2


Figura 8. 

Exercício. Esboce $\dis f(x) = \dfrac{5(x-2)(x+1)}{x^2+2x+4}.$

figsketch3afigsketch3b

figsketch3


Figura 9. Esboço do gráfico de $\dis f(x) = \dfrac{5(x-2)(x+1)}{x^2+2x+4}.$

Resolucao

  • Assumimos que o domínio de $ f $ é todos os números reais e consideramos as restrições. As únicas restrições vêm quando o denominador é 0, mas isso nunca ocorre. Portanto, o domínio de $ f $ é todos os números reais $\mathbb{R}$.
  • Nós determinamos os valores críticos de $ f $ igualando $ f '(x) = 0 $ e resolvendo para $ x $. Nós achamos $f'(x) = \dfrac{15x(x+4)}{(x^2+2x+4)^2} \quad \Rightarrow f'(x) = 0 \text{ quando } \ x=-4,0.$
  • Encontramos os possíveis pontos de inflexão, resolvendo $f''(x) = 0$ for $x$. Encontramos $f''(x) = -\dfrac{30x^3+180x^2-240}{(x^2+2x+4)^3} .$ O polinômio cúbico no numerador não fatora em termos simples.

    Assim aproximamos as raízes $ x = -5.759 $, $ x = -1.305 $ e $ x = 1.064 $.

  • Não existem assímptotas verticais.

  • Temos uma assíntota horizontal em $y=5$, pois $\dis \lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}f(x) = 5$.

  • Colocamos os pontos críticos e possíveis pontos em uma linha de número como mostrado na Figura 10 e marcamos cada intervalo como crescente/decrescente, concava para cima/para baixo

    figsketchline3


    Figura 10. 
  • Na Figura 9 (a) marcamos os pontos importantes na reta real, bem como as duas raízes de $ f $, $ x = -1 $ e $ x = 2 $, e ligamos os pontos com linhas retas para obter uma impressão geral sobre o gráfico. Na Figura 9 (b), nós adicionamos concavidade. Figura 9 (c) mostramos um gráfico gerado por computador de $ f $, confirmando nossos resultados.

Exercício. Esboce o gráfico da função

\[ f(x)=x+2x^{\frac{2}{3}}=x+2\sqrt[3]{x^{2}}. \]

Resolução

* A função $f$ é uma função algébrica irracional e definida para todo $ \mathbb{R}$, ou seja, $\Dom(f)=\mathbb{R}$.

A função $f$ é contínua para todo $x\in \mathbb{R}$. (Verifique a continuidade de $f$ no ponto $x=0$).

  • Como
    \[\begin{aligned} f(-x) =&x+2\sqrt[3]{x^{2}}\neq x+2\sqrt[3]{x^{2}}=f(x) \\ -f(x) =&-x-2\sqrt[3]{x^{2}}\neq x+2\sqrt[3]{x^{2}}=f(-x) \end{aligned} \]

Logo, f não é par nem ímpar.

  • Vamos determinar agora as raízes $f$:

    $f(x)=0\Longleftrightarrow \left{ \begin{array}{c} x=0

    x=-8% \end{array}% \right. $   são as raízes de f;

  • Vamos agora determinar a derivada, pontos críticos e os intervalos nos quais $f$ é crescente e decrescente

    (69)
    \[f'(x)=1+2.\dfrac{2}{3}x^{-\dfrac{1}{3}}=1+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{x}} \]

$f\prime (x)$ não é definida para $x=0$, e portanto, $f$ não é diferenciável no ponto $x=0$.

(70)
\[ f'(x)=0\Longleftrightarrow 1+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{x}}% =0\Longleftrightarrow \sqrt[3]{x}=-\dfrac{4}{3} \]
(71)
\[ \Leftrightarrow x=-\dfrac{64}{27}\approx -2,37 \]

Assim, $x=-\dfrac{64}{27}$ é um ponto crítico de $f$