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Aplicações da Derivada
Valores Extremos
Extremos Absolutos
Definição 1.
Seja um intervalo e uma função .
Diremos que é um ponto de máximo global (ou absoluto) de , se
, para todo . Neste caso, diremos que
é máximo global.
Diremos que é um ponto de mínimo global de , se
, para todo . Neste caso, diremos que
é mínimo global.
Um ponto será dito um ponto extremo global, se for
um ponto de máximo global ou um ponto de mínimo global.
Figura 1.O ponto é um ponto de mínimo e é um ponto de máximo.
Exercício. Determine os extremos das seguintes funções analisando seus gráficos:
a)
b)
c)
d
Resolução.
A função possui um mínimo em e não possui máximo;.
A função não possui máximo e mínimo.
A função não possui máximo e mínimo.
A função possui máximo e mínimo.
Exercício.
Utilizando os gráficos da Figura do slide abaixo Determine os extremos das seguintes funções nos intervalos especificados:
em
em
Figura 2.Gráficos de em e
Resolução.
Pelos gráficos da Figura 2, temos que o máximo de em ocorre em . O valor máximo que a função atinge é .
Pelos gráficos da Figura 2, temos a função em não possui máximo .
Um modo de ver isso é por redução ao absurdo. Suponha que tivesse um máximo em , que podemos supor maior que , se tomarmos valor entre e a função será maior em , pois a função é crescente em . O que levaria a um absurdo e logo a função não possui máximo. Porque esse argumento não funciona no item anterior?
Extremos Relativos
Definição 2.
Seja um intervalo e uma função.
Diremos que é um ponto de máximo local de , se
existir tal que , para todo . Neste caso, diremos que é
um máximo local.
Diremos que é um ponto de mínimo local de , se
existir tal que , para todo . Neste caso, diremos que
é mínimo local.
Um ponto será dito um ponto extremo local, se for
um ponto de máximo local ou um ponto de mínimo local.
A função possui máximos relativos nos pontos e e mínimos relativos nos pontos e . Observe que , ou seja, o valor de uma função em um mínimo relativo pode ser maior que o valor num máximo relativo.
Teorema [Teorema de Fermat].
Se é uma função definida no intervalo aberto e é um ponto extremo de em então ou não é diferenciável em ou .
Demonstração
Suponha que é diferenciável em e que é um máximo local (uma prova similar pode ser feita quando é um mínimo local). Então tal que e tal que para todo satisfazendo . Logo, para qualquer temos que:
(1)
Tomando o limite temos que . Por outro lado para temos que
(2)
Novamente, tomando o limite temos que
Logo
Observação.
A recíproca não é necessariamente verdadeira. Seja que está definida em todo . Logo . Portanto . Porém não é um ponto nem de máximo nem de mínimo para a função em qualquer intervalo que contenha o .
Definição 3.
O ponto é um ponto crítico de se ou se a derivada de no ponto não existir. Neste caso, o valor é chamado valor crítico da função .
Note que é necessário que exista , a fim de ser um ponto crítico. Este é um ponto importante, e muitas vezes esquecido.
Exercício.
Determine os pontos críticos da função .
Resolução.
A derivada é dada por
(3)
Os pontos críticos ocorrem quando
(4)
Ou seja, quando
(5)
Ou seja quando
(6)
Exercício.
Determine os pontos críticos da função .
Resolução.
Derivando temos que . Ou seja, .
Simplificando, temos:
(7)
e assim os pontos críticos são:
(8)
Exercício.
Determine os pontos críticos da função .
Resolução.
Extremos em Intervalos Fechados
O Teorema de Weierstrass [de Weierstrass ou do Valor Extremo] afirma que uma função
contínua em um intervalo fechado atinge valor máximo e um mínimo
global, mas não diz como encontrar esses valores extremos.
Notemos
que o valor extremo ou ocorre num ponto crítico ou ocorre em um
extremo do intervalo.
Teorema [de Weierstrass ou do Valor Extremo].
Se for contínua em , então existirão tais que
(9)
Como consequência dos Teorema de Weierstrass e de Teorema de Fermat, temos
Teorema 3.
Se é continua no intervalo fechado e limitado , então tem pontos de máximo e de mínimo em . Mais ainda, os únicos possíveis pontos extremais da função são:
pontos críticos de ;
os extremos do intervalo fechado , isto é ou .
Figura 3.Os extremos no interior do intervalo devem ocorrer nos pontos onde é zero ou não existe.
Exercício.
Ache os extremos de em .
Resolução
Como é diferenciável, os pontos críticos ocorrem quando .
Calculando a derivada temos:
(10)
resolvendo
(11)
temos que a derivada se anula em e .
Logo os candidatos a pontos de extremos são .
Calculando o valor da função nesses pontos temos:
Logo, é o ponto de máximo e é o ponto de mínimo.
Exercício.
Um fazendeiro deseja construir um curral e possui 500m de cerca linear. O local onde deseja construir o curral faz divisa com um edifício e assim não será necessário qualquer cerca neste lado. Quais são as dimensões do curral que vai encerrar a maior área.
Exercício.
Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de volume máximo que pode ser inscrito numa
esfera de raio .
Resolução
O volume do cilindro é dado por
(12)
e por Pitágoras temos a seguinte relação entre o raio e a altura:
(13)
Logo a expressão do volume em função da altura é
(14)
Como o cilindro está contido na esfera, temos que os valores de estão no intervalo .
Assim, temos um problema de extremos em um intervalo fechado, e consequentemente
temos a existência de um máximo. Esse máximo ocorrerá ou nos pontos extremos do intervalo ou nos pontos críticos.
Como é diferenciável, os pontos críticos são os pontos de derivada iguais a 0.
Derivando
(15)
Resolvendo temos:
(16)
Como
(17)
temos que
(18)
e assim
(19)
Teorema do Valor Médio
Sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Pergunta-se se uma função cuja derivada seja sempre zero é constante. Ou, em outras palavras, se um corpo tem velocidade
instantânea zero no intervalo de tempo dado por um intervalo, este encontra-se em repouso?
Para responder perguntas deste tipo devemos aprender a extrair informação de uma função a partir da informação dada pela derivada da função. Informalmente, devemos utilizar a informação
que a derivada nos da sobre o comportamento local da função para extrair informação sobre o comportamento global desta.
O objetivo desta seção é, dada uma função , encontrar condições sob as quais exista um ponto tal que
(20)
Intuitivamente, a equação acima nos diz que existe um instante de tempo no qual a velocidade instantânea de um objeto (informação local) é igual à velocidade média do objeto no
intervalo de tempo (informação global).
Começamos com um caso especial do Teorema do Valor Médio conhecido como teorema de Rolle.
Teorema [Teorema de Rolle]. Seja uma função contí nua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto satisfazendo .
Então, existe tal que
.
Demonstração.
Como é contínua em , temos que atinge um máximo em e um mínimos , em algum .
Suponha e são ambos pontos finais de .
Como temos que e e assim é constante em .
Consequentemente para todo .
Suponha não é um ponto final de .
Então e tem um máximo local em .
E o resultado segue a partir do fato que a derivada num ponto de máximo ou mínimo é zero.
Da mesma forma, suponha não é um ponto final de .
Então e tem um mínimo local em
E o resultado segue a partir do fato que a derivada num ponto de máximo ou mínimo é zero.
Exercício. Mostre que possui uma raiz em .
Teorema [Teorema do Valor Médio]. Seja uma função continua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto . Então, existe tal que
(21)
Demonstração
A equação da reta que passa pelos pontos e é dada por
(22)
Definamos a função auxiliar
(23)
Começamos observando que é contínua em pois é soma da função contínua e um polinômio de grau 1. Analogamente, temos que a função é diferenciável em
Finalmente é imediato da definição de que
Logo, pelo teorema de Rolle existe tal que
Portanto,
(24)
Teorema [Teorema do Valor Médio de Cauchy ou do Valor Médio Generalizado]. Sejam e funções continuas no intervalo fechado e diferenciáveis no intervalo aberto . Então, existe tal
que
(25)
Demonstração.
O resultado pode ser demonstrado utilizando o Teorema do valor Médio para a função
(26)
E observando que
e assim para algum ponto . Diferenciando o resultado segue..
Teorema [Teorema do Valor Médio de Cauchy Generalizado] .
Sejam funções definidas num intervalo fechado que são -vezes diferenciáveis em e cujas primeiras derivadas são contínuas em . Suponha . Então para cada in existe no intervalo e tal que
Demonstração
Por simplicidade assumiremos e . Com fixo considere
para cada . Então são contínuas em e deriváveis em . Pelo Teorema do Valor Médio
para .
Logo
pois . Simplificando os termos de sinais opostos temos que
que fornece a fórmula desejada quando .
Consequências do Teorema do Valor Médio
Teorema 8.
Se para todo , então é constante no intervalo .
Demonstração.
Sejam e , com
Como em temos que é continua no intervalo e diferenciável em .
Aplicando o Teorema do Valor Médio, temos que existe
tal que
(27)
Como para todo , temos que e assim
Begin Equation
f(x_2)=f(x_1)
~ End Equation
O teorema acima responde de forma explícita e positiva a pergunta feita ao começo desta seção: um corpo cuja velocidade instantânea é zero no intervalo de tempo dado encontra-se
em repouso.
Corolário. Sejam e funções continuas no intervalo fechado e diferenciáveis no intervalo aberto tal que para todo . Então,
existe tal que
(28)
para todo .
Demonstração.
Considere a função . Então para todo em . E logo é constante.
No corolário acima, é fundamental que o domínio de seja um intervalo para que o
resultado seja válido. Um contra-exemplo é a função pois
em todo ponto do domínio mas a função não é constante. Isso ocorre pois
o domínio de não é um intervalo.
Exercício.
Mostre que .
Resolução.
Calculando a derivada de temos:
(29)
Logo
(30)
em temos
(31)
e logo
Funções Crescentes e Decrescentes
Definição 4.
Uma função é crescente no intervalo dado se para quaisquer par com tem-se que . A função é decrescente em se para quaisquer com tem-se que .
O seguinte resultado nos da um critério utilizando o sinal da derivada da função para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento desta.
Proposição. Seja e seja um intervalo. Se para todo , então é crescente em .
Por outro lado, se
para todo , então é decrescente em .
Demonstração. Aplicando o Teorema do Valor Médio a em existe um tal que
(32)
Como e devemos ter que ou seja, Logo é crescente.
A prova do outro caso é análoga.
Exercício.
Determine os pontos para os quais é crescente e decrescente. Utilizando essa informação esboce o gráfico.
Resolução.
Seja , então . Como é positiva em e é negativa em podemos concluir pelo corolário anterior que a função é
crescente em
decrescente em .
Exercício.
Determine os pontos para os quais é crescente e decrescente.
Resolução.
A função não está definida em e
A derivada de é:
(33)
Como o denominador é sempre positivo, e o numerador é positivo em .
Assim a derivada é positiva . De modo similar, podemos concluir que a derivada é negativa em .
Ou seja:
crescente em
decrescente em .
Teste da derivada primeira para a determinação de máximos e mínimos
Utilizando apenas a informação da derivada primeira é possível determinar se um determinado ponto crítico de uma função é:
um ponto de máximo local,
um ponto de
mínimo local
nem ponto de máximo nem ponto de mínimo local.
Teorema 9.
Seja uma função diferenciável e seja um ponto crítico de . Então,
Se no intervalo à esquerda de e se no intervalo à direita de , então é um ponto de máximo local.
Se no intervalo à esquerda de e se no intervalo à direita de , então é um ponto de mínimo local.
Se tem o mesmo sinal no intervalo à esquerda de e no intervalo à direita de , então não é nem ponto de máximo nem ponto de mínimo local.
Exercício. Ache os máximos e mínimos locais de
Concavidade
Uma função é côncava para cima no intervalo dado se para quaisquer par de pontos , o segmento que conecta com
estiver acima do gráfico de .
De modo análogo, uma função é dita côncava para baixo no intervalo dado se para quaisquer par de pontos , o segmento que conecta com
estiver abaixo do gráfico de . Mais formalmente,
Definição 5.
Uma função é dita côncava para cima no intervalo se para quaisquer terna de pontos com temos que
(34)
Definição 6.
Uma função é côncava para baixo no intervalo se para quaisquer terna de pontos com temos que
(35)
Teorema 10. [Teste da Concavidade]
Se no intervalo , então é côncava para cima em
Se no intervalo , então é côncava em .
Demonstração
Dados com . Seja e façamos .
Temos que provar que . Como , a desigualde anterior pode ser escrita como:
(36)
(37)
Aplicando o TVM nos intervalos y , obtemos pontos , satisfazendo
(38)
Como por hipotese é crescente, temos que , e como
, segue que:
Figura 4.As 4 maneiras que concavidade interage com o crescimento/decrescimento
Exercício. Estude a concavidade de
e esboce o gráfico.
Resolução.
Começamos calculando as duas primeiras derivadas
e .
Como para todo
o sinal de é dado pelo sinal de Portanto,
em e é côncava para cima em e
em é côncava para
baixo em
Pontos de inflexão
Um ponto é um ponto de inflexão de se é um ponto no qual a concavidade da função muda.
Definição 7.
Seja uma função contínua em ,,. Diremos que ,,
é ponto de inflexão de se
é côncava para baixo em e é côncava para cima em , ou se
é côncava para cima em e é
côncava para baixo em .
Figura 5.Pontos de Inflexão
Teorema 11.
Seja e tal que . Se o sinal de em for diferente do sinal de em
então é um ponto de inflexão de .
Exercício.
Mostre que possui um ponto de inflexão na origem se for ímpar.
Teste da derivada segunda para a determinação de máximos e mínimos
Se a função analisada for duas vezes diferenciáveis há critérios bem simples para a determinação de máximos e mínimos locais. Seja uma função dada.
Teorema 12.
Assuma que .
Se , então tem um ponto de mínimo local em
Se , então tem um ponto de máximo local em
.
Suponha que . Por hipotese temos que . Assim
Logo, para suficientemente pequeno temos que
O que implica que
if e que se . Logo pelo teste da derivada primeira tem um máximo local em .
A demonstração do caso no qual é analoga
Exercício. Determine os pontos críticos da função e classifique-os
(pontos máximo, mínimo local) sendo
(39)
Resolução.
Como temos que
e são os pontos críticos de Como
e concluímos que é ponto de máximo e e são pontos de mínimo.
é ponto de máximo e é ponto de
mínimo.
Exercício.
Seja a função Analise seus pontos críticos.
Resolução.
Temos Logo, Ainda, Assim, e,
neste caso, o critério falha.
Devemos então analisar a concavidade de numa vizinhança do ponto
e
portanto, a curva
muda de concavidade no ponto é um ponto de inflexão.
A função não tem pontos de máximo ou mínimo locais em
uma vez que para o
que implica que é monótona crescente. Se estivesse definida num
intervalo fechado então, teria um ponto de mínimo absoluto em e um ponto de máximo absoluto em
A Regra de L'Hôpital
Uma aplicação do Teorema do valor médio generalizado permite-nos simplificar o cálculo de limites da forma
(40)
quando .
Observação.
Note que não é possível aplicar a regra do quociente para calcular este tipo de limite dado que o denominador converge a quando tende a .
Teorema 13. [Regra de L'Hôpital]. Sejam e funções diferenciáveis no intervalo aberto tal que
(41)
Suponha, também, que para todo . Se existe, então
(42)
Demonstração.
A partir da diferenciabilidade de e o Teorema do Valor Médio de Cauchy garante que para quaisquer dois pontos distintos x e em existe um entre e tal que
(43)
Então como :
(44)
O depende de e quando .
Além disso, quando .
E assim
(45)
Observação.
A regra de L'Hopital pode ser generalizada para os limites ,, ,,
ou ,.
E para a indeterminação da forma , ou seja para o caso:
(46)
Para podermos aplicar a regra de L'Hôpital no caso em que , as funções envolvidas devem ser diferenciáveis no intervalo aberto contendo o ponto (exceto, tal
vez, no próprio ponto ).
Isto sempre deve ser verificado!!
Exercício. Calcule .
Resolução.
Como e pela Regra de L'Hopital,
(47)
Exercício. Calcule .
Resolução.
Como e pela Regra de L'Hopital,
(48)
Exercício. Calcule se existir.
Resolução.
Note que e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte.
Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital.
(49)
Exercício. Calcule se existir.
Resolução.
Note que e que as funções envolvidas são diferenciáveis em toda parte.
Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital.
(50)
Note que e que as funções envolvidas
são diferenciáveis em toda parte. Logo, podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente.
Portanto podemos concluir que .
Exercício. Calcule se existir.
Resolução.
Observe que e que são diferenciáveis para todo e que ambas funções convergem para quando . Logo, temos que
Diferenças e Produtos Indeterminados
No caso de produtos indeterminados utilizamos que para transformar o produto em quociente. Essa estratégia é ilustrada nos exemplos a seguir.
Exercício. Calcule
(51)
Resolução.
(52)
Utilizando L'Hopital temos
Exercício. Calcule
(53)
Resolução.
(54)
Utilizando L'Hopital temos
(55)
No caso de diferenças temos que manipular a expressão de modo a convertê-la num quociente ou num produto indeterminado:
Exercício. Calcule
(56)
Resolução.
(57)
e
(58)
Exercício. Calcule
(59)
Resolução.
Potência Indeterminadas
Quando temos uma forma indeterminada que envolve uma potência, ou seja formas indeterminadas da forma
, e , em geral a estratégia a ser utilizada é aplicar o logaritmo natural:
se , então
Exercício. Calcule
(60)
Resolução
Temos uma forma indeterminada do tipo .
Seja . Desta forma queremos calcular . Começaremos calculando .
Logo Voltando ao limite original
Exercício.
(61)
Resolução.
Temos uma forma indeterminada do tipo . Seja . Começaremos calculando .
Logo . Voltando ao limite original
Assíntotas
Definição 8. A reta é uma assíntota vertical de uma função se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
Exercício. A reta é assíntota vertical de
Definição 9. A reta é chamada de assíntota
horizontal para uma função se
(62)
Exercício. A reta é assíntota horizontal de
Assíntotas Inclinadas
Definição 10.
Seja uma função qualquer. Se existem tais que
(63)
dizemos que a reta é uma assíntota inclinada à função . Se dizemos que é uma assíntota horizontal à função .
Como encontrar e ?
O coeficiente é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.
(64)
Uma vez encontrado o valor de podemos utiliza-lo para encontrar o valor de . O coeficiente é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.
(65)
Exercício. Determine as assíntotas de e esboce o gráfico.
Resolução
Antes de calcular os limites, faremos algumas simplificações
Primeiramente observamos que e Assim
para e para
Determinemos agora
(66)
Logo, é assíntota para Analogamente vemos que
é assíntota para
Exercício. Determine as assíntotas de
.
Resolução.
Como a função está definida em todos os pontos, pois nunca é não há assíntota vertical. Uma vez
que não há
assíntotas horizontais. Fazendo a divisão de polinômios obtemos
(67)
então
(68)
Portanto, a reta é uma assíntota
oblíqua.
Construção de Gráficos
É possível fazer um esboço do gráfico de uma função utilizando os conceitos e resultados obtidos ao longo do curso. A seguir damos um roteiro que não pretende ser
exaustivo. Isto é, o roteiro a seguir serve apenas como um guia. Porém, destacamos que cada função apresenta suas peculiaridades e seria inútil tentar gerar um
algoritmo que sirva para todas as funções.
Roteiro para a construção de gráficos
Passos
1
Encontrar o domínio .
2
Calcular os pontos de intersecção com os eixos.
3
Encontrar os pontos críticos e os valores críticos.
4
Determine, quando possível, se for par ou impar.
5
Determine intervalos de crescimento e decrescimento.
6
Encontre os máximos e mínimos de .
7
Determine intervalos de concavidade e convexidade.
8
Determine os pontos de inflexão.
9
Encontre as assíntotas.
10
Faça o esboço do gráfico de .
Observação.
Conhecer as simetrias da função, isto é, se a função é par ou impar ou periódica pode diminuir o trabalho a ser feito.
Distinga entre pontos de máximos e mínimos locais e globais.
Distinga entre assíntotas inclinadas, horizontais e inclinadas.
Exercício.
Esboce o gráfico de .
Esboço do gráfico de
Resolução
O domínio de é todos os reais; isto é está definida para todo .
Calculamos . Não calculamos as raízes pois é um polinômio de grau 3.
Para determinar os valores críticos de calculamos . Usando a fórmula de Bhaskara temos que se anula em:
Para determinar os pontos de inflexão de calculamos . E logo
Não existem assíntotas verticais.
Para determinar o comportamento assintótico para valores grandes calcularemos os limites de
Logo não temos assíntotas horizontais
Marcamos os valores e na reta real, como na figura 6. Marcamos cada subintervalo no qual seja crescente ou decrescente, concava para cima ou para baixo.
Figura 6.
*
Nós colocamos os pontos apropriados no eixo como mostrado na Figura #figsketch1 e conectamos os pontos com linhas retas. Na Figura #figsketch1(b) nós ajustamos essas linhas para demonstrar a concavidade adequada. Nossa curva cruza o eixo y em y = e atravessa a eixo perto de . Na Figura #figsketch1 mostramos um gráfico de desenhado com um programa de computador, verificando a precisão do nosso esboço.
~ End Resolucao
Exercício.
Esboce o gráfico de .
Resolução
Vamos determinar o domínio máximo de definição, para isso buscamos os pontos para os quais não podemos calcular . Achamos que em e , não está definida . Logo o domínio de is .
Para determinar os valores críticos de , primeiro calculamos . Usando a regra do quociente temos
quando , e não está definida quando . Como não está definida somente quando também não está, estes não são valores críticos. O único valor crítico é .
Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, encontramos , novamente utilizando a regra do quociente:
Nós achamos que nunca é 0 (igualando o numerador a 0 e resolvendo para , encontramos que as únicas raízes para esta equação quadrática são imaginárias) e não está definida quando . Assim concavidade possivelmente irá alterar somente em e .
As assíntotas verticais de estão em e , os pontos onde não está definida.
Há uma assíntota horizontal em , pois e .
Colocamos os valores , e na reta real como mostrado na Figura
7. Marcamos em cada intervalo se é crescente ou decrescente, concava para cima ou para baixo. Desta forma vemos que possui um máximo local em ; a concavidade muda apenas nas assintotas verticais.
Figura 7.
Colocamos os pontos apropriados no eixo como mostrado na Figura #figsketch2 e conectamos os pontos com linhas retas. Na Figura #figsketch2 nós ajustamos essas linhas para demonstrar a concavidade adequada. Também mostramos que intersepta o eixo em e
Figura 8.
Exercício.
Esboce
Figura 9.Esboço do gráfico de
Resolucao
Assumimos que o domínio de é todos os números reais e consideramos as restrições. As únicas restrições vêm quando o denominador é 0, mas isso nunca ocorre. Portanto, o domínio de é todos os números reais .
Nós determinamos os valores críticos de igualando e resolvendo para . Nós achamos
Encontramos os possíveis pontos de inflexão, resolvendo for . Encontramos
O polinômio cúbico no numerador não fatora em termos simples.
Assim aproximamos as raízes , e .
Não existem assímptotas verticais.
Temos uma assíntota horizontal em , pois .
Colocamos os pontos críticos e possíveis pontos em uma linha de número como mostrado na Figura 10 e marcamos cada intervalo como crescente/decrescente, concava para cima/para baixo
Figura 10.
Na Figura 9 (a) marcamos os pontos importantes na reta real, bem como as duas raízes de , e , e ligamos os pontos com linhas retas para obter uma impressão geral sobre o gráfico. Na Figura 9 (b), nós adicionamos concavidade. Figura 9 (c) mostramos um gráfico gerado por computador de , confirmando nossos resultados.
Exercício. Esboce o gráfico da função
Resolução
*
A função é uma função algébrica irracional e definida para todo , ou seja, .
A função é contínua para todo . (Verifique a continuidade de no ponto ).
Vamos agora determinar a derivada, pontos críticos e os intervalos nos quais é crescente e decrescente
(69)
não é definida para , e portanto, não é
diferenciável no ponto .
(70)
(71)
Assim, é um ponto crítico de .
(72)
ou seja, é crescente no intervalo
Do fato de não existir no ponto , devemos analisar o sinal de
numa vizinhança deste ponto;
Para , temos ou seja, é crescente para ;
Para - temos que ou seja, é
decrescente.
Podemos já concluir que tem um mínimo local no ponto
(porque?).
Agora vamos estudar a concavidade de :
(73)
Temos que para todo
, portanto, é um ponto de máximo local para .
Ainda, do fato de para todo então tem a
concavidade voltada para baixo para todo
Passaremos agora a determinar as assíntotas:
Temos que
Se existir assíntota inclinada, será uma reta onde, e são constantes dadas por:
O mesmo cálculo, feito para mostra que não há assíntota inclinada para .
Valores especiais de :
e se
e
Problemas de Otimização
Exercício. Um fabricante de embalagens deseja fabricar uma lata cujo formato é um cilindro circular reto de volume . Quais devem ser as dimensões da lata de modo a minimizar a quantidade de material gasto na fabricação, ou seja a área lateral da superfície?
Figura 11.
Resolução
Sendo e o raio da base e a altura da lata, respectivamente. O volume da lata é dado por
Claramente o raio deve ser positivo, e a área deve estar definida temos que temos que
A função é diferenciável em todos os pontos do domínio. Assim para calcular os pontos críticos, derivamos
e logo a derivada é igual a zero em:
(78)
Como não estamos num intervalo fechado, não temos a garantia de existência de um mínimo.
Para analisarmos o comportamento de iremos estudar o sinal da derivada.
A derivada é positiva se e negativa caso contrário.
E assim o ponto é um ponto de mínimo global
Exercício. Encontre as dimensões do triângulo isósceles de maior área que
esteja inscrito na circunferência de raio .
Resolução
Sejam a altura do triângulo, a base e a
medida de um dos lados congruentes. A área do triângulo é onde e Utilizando
Teorema de Pitágoras temos que
(79)
Substituindo obtemos Logo, nosso problema é maximizar a função
(80)
Calculando a derivada
(81)
temos que ou é o único candidato a ponto de
máximo no intervalo Analisando o sinal da derivada
primeira vemos que de fato é um ponto de
máximo. Portanto as dimensões são
(82)
Logo o triângulo é
equilátero.
Exercício.
Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura
dobrando-se para cima da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo
com a horizontal. Determine o ângulo que vai maximizar a quantidade de água que a calha pode conter.
Resolução
Neste caso, queremos maximizar o volume que uma calha pode suportar.
Primeiramente observamos que o volume de uma calha desta forma é a área de seção transversal vezes comprimento da calha. Assim, para um determinado comprimento, a fim de maximizar o volume devemos maximizar a área da seção transversal.
Para obter uma fórmula para a área da seção transversal vamos refazer o desenho acima um pouco.
A área seccional pode ser obtida somando a área do retângulo e as áreas dos triângulos. Como e temos:
(83)
(84)
Podemos assumir que pertence ao intervalo .
Calculando a derivada temos:
E logo a derivada se anula quando: ou seja
e logo . ou quando , ou seja
e .
Como , e . Temos que a área seccional máxima ocorre quando .
Exercício.
Um arame de comprimento é cortado em duas partes. Com uma dessas partes
faz-se um quadrado e com a outra um retângulo equilátero. Em que ponto
deve-se cortar o arame para que a soma das áreas seja máxima?
Resolução
A soma das áreas é dada por
(85)
onde, é a área do quadrado de lado e é a área do triângulo equilátero de lado .
Como o arame tem comprimento , então Substituindo o valor de a na equação (85), obtemos como função de apenas uma variável:
Devemos determinar um valor para de modo que seja máxima.
Começaremos procurando os pontos críticos
(86)
Então,
(87)
Por outro lado, a soma das áreas assume um mínimo local nesse ponto (critério
da segunda derivada) quando
Como a função é contínua no intervalo temos que existe um máximo e um mínimo absolutos em
Como somente assume um mínimo local no interior deste
intervalo, então o máximo deve ser assumido em um dos extremos deste
intervalo. Vamos calcular os valores nos extremos:
Se e portanto temos
Se e portanto, temos
Como, (porque e segue-se que a área é máxima quando não se corta o arame, formando somente um quadrado de lado
Polinômio de Taylor
Nesta seção, vamos discutir a Fórmula de Taylor, a qual nos
fornece o polinômio de grau que melhor aproxima uma função na vizinhança de um ponto .
Polinômio de Taylor de Ordem 1 e 2
O exemplo mais simples de aproximação de uma função por um polinômio
é a aproximação linear.
Naquela seção utilizamos a aproximação linear
(88)
para aproximar a função para na vizinhança de .
Definimos o erro que ao aproximar por
por
(89)
E desta forma podemos escrever:
(90)
Teorema 14. O erro tende a zero mais rapidamente do que Isto é, temos que:
(91)
Demonstração.
Observemos que, para temos
(92)
E logo
(93)
O polinômio de Taylor de ordem 1 de ao redor de é definido como
(94)
Teorema 15.
O polinômio é a função linear que melhor aproxima localmente ao redor de
Demonstração
Seja uma uma função linear
(95)
E tal que
(96)
e suponha que .
Como o erro em é temos que e logo a reta passa por . Para determinarmos
observe que
(97)
dividindo por e tomando o limite teríamos
(98)
E logo .
Uma deficiência da aproximação linear é que a reta tangente possui apenas a mesma inclinação de ; ela não consegue por exemplo, possuir a mesma concavidade que . Nosso objetivo nessa seção é encontrar um polinômio , que coincide não só na inclinação, mas também na concavidade
Para isso suponha que a função seja duas vezes diferenciável.
Procuramos um polinômio , de grau no máximo , tal que
(99)
Devemos procurar que satisfaça:
Concluímos, portanto, que
Novamente, definimos o erro que se comete ao
aproximar por por
(100)
Observemos que, para
(101)
e, utilizando a regra de L'Hopital, obtemos
(102)
Ou seja,
quando o erro tende a zero
mais rapidamente que
Definimos o polinômio de Taylor de ordem 2 de ao
redor de por
(103)
Novamente podemos provar que é o
polinômio de grau 2 que melhor aproxima localmente ao redor
de
Polinômio de Taylor de Ordem n
Suponha que tem derivadas até ordem no ponto , onde , e deixe-nos
tentar encontrar um polinômio
(104)
que concorda com e suas primeiras derivadas em 0. Há
condições a serem satisfeitas, ou seja,
(105)
A equação nos dá que . Diferenciando temos
(106)
e assim , e logo
Diferenciando novamente temos
(107)
e assim , e logo
E após diferenciar vezes:
(108)
temos que tal polinômio terá a seguinte forma
(109)
Definição 11.
O polinômio
(110)
é denominado polinômio de Taylor de ordem de centrado na origem.
Exercício.
Determine o -ésimo termo do polinômio de Taylor para .
Use para aproximar o valor de .
Resolução
Começamos tabelando as derivadas de no ponto .
~ Begin Center
~ End Center
Desta forma pela definição de Taylor
Da parte 1
Para aproximar o valor de , observe que É muito simples de calcular :
Ache o -ésimo termo do polinômio de Taylor de em .
Use para aproximar o valor de .
Use para aproximar o valor de .
Resolução
Começamos tabelando a derivada de em .
Taylor de
Pela definição [#def:taypoly], temos
E assim é dado por
E desta forma
Está é uma boa aproximação já que A figura 13 mostra o gráfico de e .
*
Agora aproximaremos por :
Essa aproximação não é fantástica: uma calculadora mostra que O gráfico na Figura 13 mostra que fornece aproximações menos acuradas de quando fica próximo de 0 ou 2.
Mesmo o polinômio de Taylor de ordem 20 falha ao aproximar para , como mostra a figura 14. Nos discutiremos a seguir o porque.
Figura 13.
Figura 14.
Para entendermos porque a aproximação acima falha precisamos entender a precisão com que uma função é
aproximada por polinômios de Taylor, para esse fim definimos o erro como sendo
(111)
sendo a função dada e o polinômio de Taylor de
grau ao redor de
Teorema [Fórmula de Taylor com Erro de Lagrange].
Suponhamos que a função seja vezes diferenciável no
ao redor do ponto Então
(112)
para algum
entre e .
A demonstração desse Teorema será feita no Apêndice A.1
Exercício.
Use o Teorema [Fórmula de Taylor com Erro de Lagrange] para estimar o erro cometido ao aproximar e por , o polinômio de
Taylor de grau 6 de centrado em , como calculado no Exemplo 42.
Vimos que pode ser aproximado por . Para calcularmos o erro usaremos o Teorema [Fórmula de Taylor com Erro de Lagrange] e para isso precisamos de um intervalo aberto que contenha e . Quanto menor o intervalo usamos o melhor; ele vai nos dar uma aproximação mais precisa (e menor!) do erro. Assim escolhemos , pois este intervalo contém tanto e .
Agora precisamos estimar . Nesse caso específico queremos determinar o quão grande é a sétima derivada de no intervalo aberto . A sétima derivada é .
O maior valor que atinge em é de cerca de 1506. Assim, podemos limitar o erro como:
Como e usando uma calculadora temos que , o erro real é de , que é menor que o erro máximo estimado usando o Teorema .
Novamente começamos escolhendo um intervalo que contenha e ; Nesse caso escolheremos . O valor máximo da sétima derivada de nesse intervalo é 1506 (o maior valor ocorre próximo de ). Logo
Esse limitante não é tão bom quanto o anterior. Como , a nossa estimativa de erro garante que o valor real de está entre e . E desta forma não são muito úteis.
Exercício. Quantos termos do polinômio de Taylor são necessários para aproximar com um erro inferior a ?
Resolução.
Queremos que Logo basta tomar tal que
ou seja, tal que
Substituindo valores em temos que a desigualdade é satisfeita para
Irracionalidade de e
Começaremos obtendo uma expressão para utilizando polinômios de Taylor.
Teorema 17.
(113)
Demonstração
Como vimos, o polinômio de Taylor de ordem ao redor do
zero da função é
