Estratégia de Integração
Daniel Miranda
UFABC
Cristian Colleti
UFABC

1. Técnicas de Integração

‘'A melhor maneira de explicar é fazer.’'

Alice no País das Maravilhas, Lewis Carrol

1.1. Introdução

Neste texto apresentaremos estratégias para calcular integrais indefinidas e definidas.

Essa estratégia é baseada na estratégia apresentada em [Schoenfeld, 1978] e sua eficiência é discutida em [Kallam and Kallam, 1996].

1.2. Estratégia de Integração


Alice perguntou: ‘'Poderia me dizer, por favor, que caminho devo tomar …?’'

‘'Isso depende bastante de onde você quer chegar’', disse o Gato.

‘'O lugar não me importa muito…’', disse Alice.

‘'Então não importa que caminho tomar’', disse o Gato.

Alice no país das maravilhas - Lewis Carroll

Esta seção apresenta uma estratégia geral para atacar problemas de integração.

A estratégia tem três etapas:

No passo 1, SIMPLIFICAR temos que tentar reduzir nosso problema para um que possa ser resolvido mais facilmente. Se isso não resolver o problema passamos para o passo 2, CLASSIFICAR. Aqui usamos a forma do integrando para decidir qual técnica especial que podemos utilizar, ou seja, a integração por partes, substituição, etc. Se formos incapazes de classificar o integrando, passamos para a etapa 3, MODIFICAR. Nesse caso temos que manipular o integrando em uma ou mais formas. Devemos sempre buscar por alternativas simples antes de iniciar os cálculos mais complicados, e iniciar o processo com o passo 1 sempre que conseguirmos transformar a integral para algo mais fácil.

Há um par de observações que precisam ser feitas sobre essa estratégia. Primeiro, não é um conjunto rígido e rápido de regras para determinar o método que deve ser usado. É realmente nada mais do que um conjunto geral de diretrizes que nos ajudam a identificar as técnicas que podem funcionar. Algumas integrais podem ser calculadas em mais de uma maneira e assim dependendo do caminho que você tomar você pode terminar com uma técnica diferente de outra pessoa que também está seguindo essas estratégias.

SIMPLIFICAR

Como os problemas a seguir ilustram, vale a pena tomar alguns momentos para procurar uma solução rápida ou fácil para um problema antes de saltar para um procedimento complicado. Isto é especialmente verdadeiro em integração, onde uma observação oportuna pode economizar uma enorme quantidade de trabalho. Os dois tipos principais de simplificação que vamos discutir estão resumidos no quadro a seguir.

Exercício.

(1)
\[\dint \sqrt{x}\left(1+\sqrt{x} \right)\dx= \dint \sqrt{x}+x \dx \]
(2)
\[\dint \cos^2 x \dx = \dint \dfrac{1}{2}\left[ 1+\cos(2x)\right] \dx \]
(3)
\[ \dint \frac{x-3}{x-4}\dx= \dint 1+\frac{1}{x-4}\dx \]
(4)
\[ \dint \frac{3x^2-2x+1}{2x-1} \dx = \dint \frac{3}{2} x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\frac{1}{2x-1} \]

Exercício.

(5)
\[ \dint \dfrac{x}{x^2+1} \dx \]

Resolução. Faça a substituição $u= x^2+1$.

Exercício. Calcule $\dint x^3\sqrt{x^2-1} \dx $

Resolução. Faça $u=\sqrt{x^2-1}$

Exercício. Calcule

(6)
\[ \dint \frac{ \tan x }{\sec^4 x} \dx \]

Resolução.

\[ \begin{aligned} \dint \frac{ \tan x }{\sec^4 x} \dx&= \dint \frac{ \sin x}{\cos x} \cos^4 x \dx\\ &= \dint \sin x \cos^3 x \dx \comentario{ $u=\cos x$}\\ &=-\dint u^3 \du\\ &= \frac{1}{4} \cos^4 x +C \end{aligned} \]

Exercício. Calcule $\dint \frac{x+1}{x^2+1} \dx$

Resolução.

(7)
\[\frac{x+1}{x^2+1}= \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1} \]

Exercício. Calcule

(8)
\[ \dint \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} \]

Resolução. Faça a substituição $u=\ln x$

CLASSIFICAR

Aqui usamos a forma do integrando para decidir qual técnica especial que podemos utilizar, ou seja, a integração por partes, substituição, substituição trigonométrica, etc.

Se o integrando:

Exercício. Classifique as seguintes integrais:

  • $\dint \dfrac{x^2}{\sqrt{4x^2-9}}\dx$
  • $\dint x^3\sin x^2\dx$
  • $\dint \sin(3x)\cos(8x) \dx$
  • $\displaystyle\dint \dfrac{x^3 + x + 1}{x^2 - 2 x + 1} \dx$
  • $\dint \sen (x) \cos^4 (5 x) \dx$

  • $\dint e^{3z}\cos(4z)dz$

Resolução.

  • a Como o integrando possui uma raiz $\sqrt{4x^2-9}$, que pode ser simplificada à $2\sqrt{x^2-9/4}$ uma boa escolha é fazer uma substituição trigonométrica.
  • b Nesse caso começamos com uma substituição $u=x^2$, e logo $\du=2x\dx$ e após essa substituição a integral fica:
    (10)
    \[\dint u \sen u \du \]
    que pode ser feita por partes.
  • c Essa integral é produto de senos e cossenos e pode ser convertida numa soma usando a relação:
    (11)
    \[2\sen a \,\cos b = \sen (a-b) + \sen (a+b) \]
  • d Como a integral em questão envolve uma função racional com o grau do numerador maior que o denominador, a estratégia é fazer a divisão polinomial e usar integração por frações parciais.
  • e Integração de Potência de senos e Cossenos.
  • f Partes duas vezes.

Exercício.

(12)
\[ \dint x \ln x \dx \]

Resolução. Por partes

MODIFICAR

Algumas integrais podem não se encaixar no esquema de classificação anterior, e nesse caso nós podemos desconhecer de forma adequada para resolvê-los. Uma maneira de abordar esses problemas é procurar similaridades entre estas integrais e outras integrais que sabemos como fazer. Se a forma de um problema difícil se assemelha a de um problema padrão, existem duas possibilidades. Poderíamos ser capazes de reduzir o problema difícil de que forma “padrão”. Ou ainda, as técnicas que usaria no problema mais fácil pode nos ajudar a resolver o mais difícil.

Observação: Existem problemas de integração que parecem muito semelhante a um problema solúvel, mas que sobre um exame mais minucioso, se mostram impossíveis de serem resolvidas utilizando as técnicas apresentadas neste livro.

Problemas Similares

Algumas manipulações algébricas são bastante fáceis de serem utilizadas e valem a pena considerá-las automaticamente antes de tentar qualquer outra coisa. Por exemplo, nós quase sempre quebramos o integrando de uma soma em uma soma de integrais e depois integramos termo a termo. Antes de fazer isso, no entanto, devemos procurar outras alternativas. Uma operação que é mais complicada, mas que também vale a pena ser considerada é simplificar funções racionais pela divisão longa. Nós chamamos uma função racional (o quociente de dois polinômios) uma “fração própria” se o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Frações próprias são geralmente mais fáceis de manipular do que as impróprias.

Exercício. Calcule

(13)
\[ \dint \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } \dx \]

Multiplique o numerador e o denominador por $\sqrt{1-x}$.

Exercício. Calcule

(14)
\[ \int \cos \sqrt{x} \dx \]

Resolução. Faça a substituição $u=\sqrt{x}$ então $x=u^2$ e logo $\dx=2u\du$. Assim:

\[ \begin{aligned} \int \cos \sqrt{x} \dx &= 2\dint u \cos u \du. \end{aligned} \]

Por partes temos:

Exercício. Calcule

(15)
\[ \dint \frac{2}{3+2x^2} \dx \]

Resolução.

\[ \begin{aligned} \dint \frac{2}{3+2x^2} \dx &= \frac{2}{3} \dint \frac{1}{1+\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}x\right)^2} \dx \end{aligned} \]

Fazendo a substituição $u=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}x$

Caso nada disso funcione, tente:

Exercício. Calcule $\dint \frac{1}{1+\sin x} \dx$.

Resolução.

\[ \begin{aligned} \dint \frac{1}{1+\sin x} \dx &= \dint \frac{1}{1+\sin x} \frac{1-\sin x}{1-\sin x} \dx\\ &= \dint \frac{1-\sin x}{1-\sin^2 x} \dx \\ &= \dint \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} \dx \\ &= \dint \sec^2 x - \tan x \sec x \dx\\ &= \tan x - \sec x +C \end{aligned} \]

Bibliografia

Linda G Kallam, and Michael Kallam. “An Investigation into a Problem-Solving Strategy for Indefinite Integration and Its Effect on Test Scores of General Calculus Students.” 1996. http://​hostel.​ufabc.​edu.​br/​~daniel.​miranda/​calculo/​ERIC_​ED393674.​pdf. 🔎
Alan H Schoenfeld. Presenting a Strategy for Indefinite Integration. American Mathematical Monthly. JSTOR. 1978. 🔎