Tutorial do Maxima

1 Equações e Inequações

1.1 Polinômios

O Maxima é capaz de manipular polinômios e outras expressões
simbólicas. Para mostrar ao Maxima um polinômio, basta digitá-lo:

(%i1)

x^2-x;

No entanto, ao digitar um polinômio, devemos usar o sinal * para
multiplicação (o Maxima não entende que ``2a'' é o mesmo que
``2 vezes a'':

(%i2)

10 * x^3-8 * x^2+5;

Vimos no Capítulo anterior como definir variáveis. O Maxima pode
guardar em uma variável não apenas números, mas qualquer objeto
matemático -- inclusive polinômios!

(%i3)

p: x^2*(2*x-3) +3*(x-4+x) +8;

O nome p agora se refere a este polinômio:;

(%i4)

1.2 Simplificando e expandindo polinômios

O Maxima pode simplificar ou expandir polinômios usando a função expand
Ao expandir, o Maxima:

* Desenvolverá produtos e potências de somas: por exemplo, $a(b+c)$ será
  reescrito como $ab+ac$ e $(a+b)^2$ será expandido para $a^2+2ab+b^2$;
* Separará números racionais onde há soma no numerador,
  reescrevendo como dois números. Por exemplo, $(a+b)/c$ é
  transformado em $a/c + b/c$;
* Aplicará a propriedade distributiva em multiplicações, dando
  origem a mais termos. Por exemplo, $a(b+c)$ se torna $ab+ac$.

(%i5)

ex: (a+b)*(a+c);

(%i6)

expand(ex);

A função ratsimp tenta simplificar polinômios.
Podemos usar ratsimp para simplificar o polinômio p
(que já definimos) usando seu nome:

(%i7)

ratsimp(p);

A função ratsimp não alterou a forma do polinômio p. Ela apenas
encontrou uma versão simplificada do polinômio e a mostrou na tela. O
polinômio p continua guardado na mesma forma que antes:

(%i8)

A função factorsum é especialmente útil quando temos uma
expressão muito grande e queremos verificar rapidamente se ela pode
ser fatorada:

(%i9)

expressao: b*d^2*e+a*d^2*e+2*b*c*d*e+2*a*c*d*e+b*c^2*e+
a*c^2*e+5*b*d^2+5*a*d^2+10*b*c*d+10*a*c*d+5*b*c^2+5*a*c^2;

(%i10)

factorsum(expressao);

1.3 Resolvendo Equações

O Maxima simplesmente nos devolveu a equação, sem resolvê-la. A equação é
um ``objeto matemático'' para o Maxima, e ele somente o manipulará se
pedirmos explicitamente. A função solve encontra soluções para
equações e as devolve em uma lista:

(%i11)

solve(x^2+10*x+8=0,x);

Podemos também encontrar os pontos em que duas funções coincidem.
No exemplo a seguir daremos ao Maxima dois polinômios, descrevendo
uma reta e uma parábola.

(%i12)

reta: 2*x+3;

(%i13)

para: x^2-4;

Tendo dado nomes aos dois polinômios, podemos então plotá-los e
visualizar os pontos onde a reta e a parábola se interceptam:

(%i14)

wxplot2d([reta,para],[x,-4,4]);

Se pedirmos para resolver para=reta, o Maxima mostrará os pontos
onde ambas se interceptam:

(%i15)

solve(para=reta);

Também podemos verificar os zeros de ambos:

(%i16)

solve(reta=0);

(%i17)

solve(para=0);

1.4 Sistemas Lineares: Lineares e Modulares

Além de equações, a função solve também resolve sistemas de equações lineares. Basta que
passemos como primeiro argumento o sistema de equações como uma lista:

(%i18)

solve([x+y=2, 2*x-y=4]);

O sistema 2x2 que acabamos de resolver é composto de duas
equações afim. Podemos plotá-las e visualizar o ponto onde se interceptam.
Para isto devemos reescrever ambas na forma y = f(x) -- e o próprio Maxima o
fará se pedirmos que resolva cada linha do sistema para y:

(%i19)

solve(x+y=2,y);

(%i20)

solve(2*x-y=4,y);

Finalmente, plotamos as duas funções:

(%i21)

wxplot2d([2-x, 2*x-4],[x,-2,4]);

1.5 Resolvendo Inequações

Para que o Maxima resolva inequações, é necessário carregar o módulo fourier_elim (o
módulo tem este nome porque usa o processo de eliminação de Fourier-Motzkin
para resolver sistemas de inequações lineares:

(%i22)

load(fourier_elim);

O Maxima então pode calcular as soluções para inequações.
Primeiro uma inequação simples 3x-10-x>0

(%i23)

fourier_elim([3*x-10-x>0],[x]);

Uma inequação com módulo |3x-10|-x>0:

(%i24)

fourier_elim([abs(3*x-10)-x>0],[x]);

Uma inequação com dois módulos, um dentro do outro:

(%i25)

fourier_elim(abs(x - abs(4-x)) < 2,[x]);

O segundo argumento para fourier_elim foi [x], uma lista contendo x$
Esta lista contém as variáveis que o Maxima levará em consideração ao resolver as
inequações. Para ilustrar isto, usaremos uma inequação com duas variáveis, xy>5x$

(%i26)

fourier_elim(x * y > 5*x,[x]);

A resposta do Maxima mostra diversas inequações, mas em todas as que envolvem x ele
aparece isolado.
Se passarmos [y] para fourier\_elim,
o Maxima resolverá a inequação para y:

(%i27)

fourier_elim(x * y > 5*x,[y]);