Representação de grupos finitos -
Docente: Edson Ryoji Okamoto Iwaki – edson.iwaki@ufabc.edu.br
Horário: Segunda-feira: 16:00h – 18:00h – sala 311-2 – SA
quarta-feira: 14:00h-16:00h – sala 311-2 – AS
Ementa:
Representações de grupos. Álgebras de grupos. Representações e módulos. Teorema de Maschke. Lema de Schur. Representações irredutíveis e completamente redutíveis. Caracteres de grupos. Relações de ortogonalidade e tábua de caracteres. O Teorema de Burnside. Caracteres induzidos. Teorema de reciprocidade de Frobenius. Representações induzidas.
Cronograma de aulas:
Aula 1: Apresentação do curso. Revisão de anéis, subanéis, ideais laterais. Anéis de divisão. Quatérnions. Elementos inversíveis num anel. Anéis simples. Mn(D) é um anel simples. (D- anel de divisão). Homomorfismo de anéis. Teoremas do Isomorfismo para anéis.
Aula 2: R-módulos, definição. Módulos simples. Módulos livres e somas diretas. Posto de um módulo livre.
Aula 3: Módulos com condição de cadeia. Modulos artinianos e noetherianos.
Aula 4: Série de composição. Teorema de Jordan Holder. Módulo com comprimento finito.
Aula 5: 08/07: feriado
Aula 6: Continuação da aula anterior.
Aula 7:Módulos semisimples. Caracterização de módulos semisimples.
Aula 8: Anéis semisimples. Mn(D) é um anel semisimples.
Aula 9: Continuação da aula anterior.
Aula 10: Teorema de Artin Wedderburn.
Aula 11:Radical de Jacobson de um anel R. Ideais primitivos de um anel R, Elementos quasi regulares.
Aula 12:Caracterização dos ideais minimais a esquerda de um anel R (Brauer). Anéis semisimples são artinianos. Teorema de Hopkins Levitzki.
Aula 13: Anéis de grupo. Definição e propriedades. Suporte de um elemento. Homomorfismo de aumento. Ideal de aumento. Semisimplicidade do anel de grupo RG (Teorema de Maschke).
Aula 14: Algebras de grupo comutativas e subálgebras comutativas de RG.
Aula 15: Representações de um grupo G sobre um anel R. Exemplos. Representações irredutíveis. Bijeção entre representações de um grupo sobre um anel R e RG-módulos que são livres de posto finito sobre R. Representações do grupo cíclico finito de ordem 7; do grupo quatérnion de ordem 8; grupo dihedral de ordem 8.
Aula 16: Continuação da aula anterior.
Aula 17: 19/08: feriado
Aula 18: Caracter de um grupo. Tábua de caracteres de um grupo finito G. Relações de ortogonalidade. Caracteres e questões sobre isomorfismo. A álgebra de grupo CG, de um grupo finito G sobre C, é determinada pela sua tábua de caracteres.
Aula 19: 26/08: P1
Aula 20: Se ZG isomorfo a ZH então as tábuas de caracter de G e de H são iguais.
Aula 21: Continuação da aula anterior.
Aula 22: Teorema de Burnside.
Aula 23: 09/09: P2
Aula 24: Revisão da matéria.
Aula 25: 16/09: Prova Recuperação – REC
Avaliações e critério de avaliação:
O desempenho dos discentes será avaliado através de provas.
M= (P1+ P2)/2, onde P1 nota da prova 1; P2: nota da prova 2.
P1: 26/08
P2: 09/09
R: 16/09
M= (P1+P2)/2;
Caso o discente deseje fazer a recuperação, a média final MFinal será dada por: MFinal= (M+R)/2. (Nesse caso a média final será obrigatoriamente calculada pela fórmula anterior dada para MFinal). Caso o discente não realize a prova de recuperação a média final será dada por M=(P1+P2)/2.
Prova substitutiva: Caso não seja possível comparecer a alguma prova regular em virtude de circunstância contemplada no Art. 2º da Resolução ConsEPE nº 227, de 23 de abril de 2018, será oferecida uma avaliação substitutiva mediante comprovação de tal circunstância. A justificativa e o atestado deverão ser encaminhados para o e-mail institucional do docente [edson.iwaki@ufabc.edu.br] em até 48h após a realização da prova. Casos em que o motivo da falta impeça o aluno de contatar a docente no prazo estabelecido serão analisados separadamente, preservando o direito do aluno à reposição da prova.
Sugestões de seminários: sugestão_seminarios
Conceitos:
8,5<= A <=10
7,0<= B < 8,5
5,0 <= C < 7,0
4,5 <= D < 5,0
0<= F < 4,5
Bibliografia:
Curtis C. & Reiner I., Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley-Interscience, New York, 1962.
Dornhoff L., Group Representation Theory, Marcel Dekker, New York, 1971.
Isaacs, M., Character theory of finite groups, Academic Press, New York, 1976.
James G. & Liebeck M., Representations and Caracteres of Groups, Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 2001.
Sehgal, S.K., Milies, C. P., An introduction to group rings, Kluwer, 2002